从数学的思想方法到学生的思维能力

人们用最美的词句赞美数学：“自然科学的皇后”、“皇冠”、“明珠”、“稀世珍宝”、“峨眉的阶梯”、“金碧辉煌的宫殿”、“人造宇宙”等，这些一点儿也不夸张。数学原本是培养思考力的最好的方法，即使讨厌数学的人，也能透过“头脑体操”让自己拥有数学式的逻辑思考；数学能让人排除不必要的杂物，看透事物的本质，并得到解决问题的启示，会数学，不仅等于拥有万种知识的钥匙，也能透过数学来探索人生的其他可能性。对数学的教育相当一部分人认为没有多大作用，其实数学的教育对人的影响是潜在的、长期的。下面我从数学思想方法的教育到学生思维能力的培养谈几点自己的看法；

一、培养数学思维能力的重要意义

数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画，并逐步抽象概括而形成的方法和理论，并进行广泛应用的过程，它是研究数量关系和空间形成的过程。高中阶段的数学学习是发展数学思维能力的重要时期。数学是一门逻辑性非常严谨的学科，能够帮助学生养成良好的学风与科学的学习态度，学生的思维能力的发展在经历了高中三年这样一个长期的系统的培养与训练过程后，会得到一个跨越式的发展。这对于学生来说，无疑是一个重要的人生经历，对于学生将来如何看待事物，从较高的角度来把握问题的实质，都有着不可忽视的举足轻重的作用。

二、培养数学思维能力的途径

常用的数学思想方法可分为三类

（1）具体操作法：如配方法、消元法、换元法、特值法、累差法、累商法、倒序求和法、错位相减法等。

（2）逻辑推理法，如综合法、分析法、反证法、数学归纳法、演绎法、类比法、统一法等等。

（3）具有宏观指导意义的数学思想方法，如函数、方程与不等式的思想方法，数形结合的思想方法，分类讨论的思想方法，化归与转化的思想方法等。

具体操作法是训练学生的数学技能，逻辑推理法是培养学生的合情推理的能力，数学思想方法实质上就是辨证法在数学中的运用，它对高中阶段的数学学习具有深远的指导意义。下面对数学思想方法的重要意义进行阐述和分析：

三、函数、方程与不等式的思想方法

函数的思想是用运动和变化的观点分析和研究数学中的两个变量之间的制约关系，建立函数关系或构造函数，运用函数图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决。函数思想是对函数概念的本质认识。用于指导解决问题，善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。

方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程或方程组，通过解方程或方程组使问题得到解决。方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想是函数中的一种静止状态，研究运动中的等量关系。

函数、方程与不等式的思想蕴含了深刻的哲学思想，这种思想的渗透与内化会使学生学会用发展的眼光看待问题，从全局的角度观察问题，善于透过现象看本质，发现事物间的内在联系，个体与总体、部分与整体、高瞻远瞩、顾全大局。

四、数形结合思想方法

数形结合作为一种重要的数学思想，就是指处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图像有机地结合起来思考，促进抽象思维与形象思维的一体化，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简洁解决的思想方法。

数与形是事物的两个方面。正是基于数与形的抽象研究，才产生了数学这门学科。才能使人们能够从不同侧面认识事物，华罗庚先生说过：“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞。数缺形少直观，形少数时难入微。”把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把图形性质转化为数量关系的研究，这种解决问题过程中的数与形相互转化的研究策略就是数形结合的思想。

数形结合思想同样具有深刻的哲学思想，我们要善于领悟其中的内涵。意与形、形与意之间的统一关系也就是高中数学的数形结合思想的应用，对于培养学生的形象思维和抽象思维，以及用辩证统一、一分为二的观点来看待事物也是不无裨益的。

五、化归与转化思想方法

化归与转化思想是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而是问题得到解决的一种解题策略。它是数学学科与其他学科相比，一个特有的思想方法。化归与转化的思想核心是把省属生疏转化为熟悉，化复杂为简单，化未知为已知，化综合为单一，化一般为特殊，化正面为对立，化运动为静止。转化分为等价转化和不等价转化，等价转化是指转化后的新命题与原命题本质上是一样的。不等价转化则是部分改变了原命题的实质，需对所得结论进行必要的修正或检验。

常见的转化有互为逆否命题的转化，数与形的转化，事件与事件的对立的相互转化，空间与平面的相互转化，复数与实数的转化，常量与变量的转化，整体与局部的转化，无理式向有理式的转化以及很多运算式的转化。

化归与转化思想体现的是逻辑上的一种变通。删繁就简，正难则反。它是人类探索未知领域的一种必不可少的智慧和策略。

六、分类讨论的思想方法

在高中数学的学习中我们常常遇到这样一种情况，在解决某一问题时，出现了不确定因素，无法用统一的式子继续进行求解，因为这时被研究的问题包含了很多种情况，这就必须在条件给出的总区域内，依据一定的标准，正确划出若干个子区域，然后，分别在若干个区域内求解。这里集中体现了由大化小、由整体划为部分由一般化为特殊的解决问题的办法，其基本方向是分组分类解决问题。之后，还必须把它们总合在一起，这种合—分—合的解决问题的过程，就是分类讨论的思想方法。

分类讨论思想是人类的一种重要的思想方式。这种思想的渗透和内化会使人门在处理复杂工作时有比较缜密的思维习惯，学会将复杂问题有层次低分为几个简单问题去研究，这也是数学的严谨性、科学性。人类做任何事情都要有严谨的科学的态度。

在对一个复杂问题的系统条理的分析中，通过数学思想方法的渗透和强化，逐渐达到潜移默化的作用。并将这种思维运用到生活实践中，来帮助自己形成正确的人生观、价值观和世界观，更重要的是它始终影响着人们的思维方式。

不管学生将来从事什么方面的业务工作，深深铭刻头脑中的数学精神、数学思维方法、研究问题的方法，会随时随地的发挥作用，使他们终身受益。

（作者单位系河南省沈丘县第二高中）