研究物理数学化,走进有趣的物理

摘要：物理学数学化就是探讨物理现象的数学模型，并针对模型已确立的物理问题研究其数学解法，由此解释和预见物理现象，或者根据物理事实来修正原有模型。在落体运动中，运动规律用几何和代数关系定量；在经典力学中，质点和刚体的运动用常微分方程来描述；18世纪以来，在连续介质力学、传热学和电磁场理论中，归结出许多偏微分方程；概率论和数理统计与分子运动的结合开辟了热力学与统计物理，数学化的过程实现了物理学的多元与统一。

关键词： 近代 物理学 数学化

1、物理学数学化的开始――数学实验方法

伽利略被誉为近代物理学之父，他把实验与数学相结合，开创了近代科学的有效研究方法――数学实验方法。伽利略起初的研究可以分为三个步骤：（1）提取出从现象中获取的直观认识的主要部分，用最简单的数学形式表示出来，以建立量的概念；（2）由此式用数学方法导出另一易于实验证实的数量关系；（3）通过实验证实这种数量关系。[3]匀加速运动规律的研究展示了他的跨时代研究方法。

伽利略从斜面滚球实验开启了物理实验现象到推理的进化，而在落体运动的研究中，伽利略改变了中世纪物理学虚假的世界，改变了物理学形而上学和常识“观察”相结合中盘旋的状态。确立了正确的“自由落体定律”： 、 。伽利略对运动基本概念，包括重心、速度、加速度等都作了详尽研究并给出了严格的数学表达式。否定了“亚里士多德的主要错误是，他的物理学忽略了，甚至排除了不可动摇的数学哲学这个基础。[1]”

经过后人的巩固与整理，形成了目前的实验――数学方法是：在实验的基础上，重视把数学概念、理论、公式用于对物体运动的研究，把物理概念及其相互联系用简洁的数学形式表达出来，从而使物理概念量化，形成物理量，并用数学形式揭示自然界的物理本质，把观察与实验的结果上升到理论的高度。

2、物理学数学化的形成――《原理》的出版

尽管伽利略、开普勒运用数学所作的尝试是卓越的，但都只是用数学的方法解决局部问题，试探性地对客观自然现象和经验事实进行部分的定量研究。牛顿在自然科学史上真正实现了物理科学的系统的数学化。牛顿在物理学上革命性举动正像他的巨著《自然哲学之数学原理》的名称所要表明的那样，建立起“自然哲学”的数学原理。在他看来，数学方法对于研究自然是有效的，是符合物理学的研究本性的也是符合物理学研究的抽象化方向的，微积分与万有引力定律对物理学以及对航天事业的影响，足以证明物理学的数学化是一次正确的革命。

牛顿在研究经典力学规律和万有引力定律时，碰到了一些无法解决的数学问题，而这些数学问题用欧几里德几何学和16世纪的代数学是无法解决的，因此牛顿着手研究新的以求曲率、面积、曲线的长度、重心、最大最小值等问题的方法―――流数法（后演变为微积分）。牛顿的微积分是从力学脱胎而来的物理模型的痕迹，以机械运动的数学模型出现，其中的基本概念，如初生量、消失量、瞬、最初比和最后比等概念都来自机械运动，是机械运动瞬间状态的数学抽象。从某种角度上推动了数学的发展。

3、物理学数学化的成熟――麦克斯韦方程

电磁学从远古到18世纪中晚期是电磁现象的早期研究阶段，以对电磁现象的观察实验以及定性研究为主，直到18世纪晚期到19世纪早期，库仑定律、电流磁效、大陆派超距论电动力学体系才相继出现， 1861～1865年，麦克斯韦提出电位移和位移电流的概念，把电磁场明确地定义为是一种物质，为了定量地刻画电磁场的转化和电磁波的传播规律，麦克斯韦运用应用应力、变形、压力、涡动及其他概念、矢量分析和微分方法，并把它的全部表现形态用个带可变数的方程式表述出来，引进了两组偏微分方程。后来，科学家用这些方程式建立了精密的麦克斯韦方程组。后来赫兹于1886～1888年通过实验证实了麦克斯韦的预言，也因此彻底否定了电超距论思想，导致了无线电的诞生，开辟了电磁波通讯的新纪元。并从理论上预言了电磁波的存在，建立了麦克斯韦方程组。

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通过麦克斯韦方程组，可导出一系列不同波长和频率的电磁波，并由于波长的量变引起了波特性和功能的质变。诸如在这之前就已发现的红外线、可见光、紫外线，在这以后陆续被发现的x射线、微波和超短波、中波、长波等无线电波，都属于电磁波，都可以从这组奇妙的方程中找到各自的位置。

5、物理学数学化的深入――热力学和统计物理的数学化

麦克斯韦精湛的数学功底不仅促成了电磁学的统一与发展，它还极大的推动了统计物理学的发展。麦克斯韦在对土星环的研究过程中，遇到了许多概率理论的问题，同时又受到克劳修斯《关于气体分子的平均自由路程》（该文将概率思想引入物理学及其计算之中，文章用统计方法推求分子运动平均自由程时采用了速率相等的假定）的影响，从而开始了对气体动力学的研究。 他于1859年9月21日做了题为《关于气体动力理论的说明》的报告，考虑到各个分子实际运动速度不同，利用概率论和统计方法确立了气体分子按速度分布的统计规律（麦克斯韦速度分布律），提了著名的分子运动速度分布律，纠正了前辈学者伯努利和克劳修斯在这方面的错误。这个报告初次把统计学用于描述物理现象，标志着新的科学发展时期的来临。1860年，麦克斯韦用分子速度分布律和平均自由程的理论推出一个粘滞系数公式，得到粘滞系数与气体分子密度无关的结论，并在1866年亲自做实验验证了这个结果。1872年，玻尔兹曼引进分子分布函数定义的H函数和熵发表了研究气体从不平衡过度到平衡的过程的玻尔兹曼方程；1873年，吉布斯用系统参数的变化表示系统内能的变化，得到热力学基本方程， ，后又将热学的唯象论和分子运动论综合到一个整体，系统研究系综，发表《统计力学基本原理》完成统计物理的伟大统一。

参考文献

[1]牛顿.牛顿自然哲学著作选北京：商务印书馆1962；

[2]杨庆余.唐福元.物理学史.中国物资出版社；

[3][美]KlineM.古今数学思想，第4册.[M].上海：上海科学技术出版社，1981：324；

[4]周经伟.伽利略科学研究方法探究.海南大学理工学院570228；

[5]长青.季潜.具有深厚数学根底的物理学家―麦克斯韦.物理教师.1998.19；

[6]李仓荣.杨辉.数学化是自然科学发展的必经之路. 河南教育学院学报（自然科学版）2001.10；

[7]张晓森.李中华.王静芳.自牛顿以后世界上最伟大的数学物理学家――麦克斯韦.西华师范大学物理与电子信息学院，四川南充637002.