数学思想在排列\组合\二项式定理中的应用

一、分类讨论思想

例1.四面体的顶点和各棱的中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有()

A.150种 B.147种

C.144种 D.141种

解析:任取4个点共C410=210种取法.四点共面的有三类:(1)每个面上有6个点,则有4×C46=60种取共面的取法;(2)相比较的4个中点共3种;(3)一条棱上的3点与对棱的中点共6种.

例2.某人手中有5张扑克牌,其中2张为不同花色的2,3张为不同花色的A,有5次出牌机会,每次只能出一种点数的牌但张数不限,此人有多少种不同的出牌方法?

解析:出牌的方法可分为以下几类:

第一类办法:5张牌全部分开出,有A55种方法;

第二类办法:2张2一起出,3张A一起出,有A25种方法;

第三类办法:2张2一起出,3张A一起出,有A45种方法;

第四类办法:2张2一起出,3张A分两次出,有C23A35种方法;

第五类办法:2张2分开出,3张A一起出,有A35种方法;

第六类办法:2张2分开出,3张A分两次出,有C23A45种方法.

因此,共有不同的出牌方法A55+A25+A45+A23A35+A35+C23A45=860种.

二、函数思想

例3.证明:当n≥3时,2n≥2(n+1),n∈N

解析:构造函数f(x)=(1+x)n=C0n+C1nx+C2nx2+C1nx+…+Cnnxn,则f(1)=(1+1)n=C0n+C1n+C2n+…+Cnn=1+n+C2n+…+Cn-2n+n+1=Cnn=2(1+n)+(C2n+…+Cn-2n)=2n

当n=3时,2n=2(1+n)

当n>3时,2n=2(1+n)+(C2n+…)=2n

所以当n≥3时,2n≥2(n+1),n∈N

三、整体思想

例4.有8本互不相同的书,其中数学书3本,外文书2本,其他书3本,若将这些书排成一列放在书架上,则数学书恰好排在一起,同时外文书也恰好排在一起的排法共有多少种?

分析:先将数学书和外文书各当作一个整体与其他书进行全排列,有A55种,再将数学书和外文书各自进行全排列,分别有A33和A22种,故一共有A55・A33・A22种。

四、等价转换思想

例5.一条路上共有11个路灯,为了节约用电,拟关闭其中4个,要求两端的路灯不能关闭,任意两个相邻的路灯不能同时关闭,那么关闭路灯的方法总数有多少种?

解析:11个灯中关闭4个等价于在7个开启的路灯中,选4个间隔(不包括两端外边的装置)插入关闭的过程,故有C46=15种.

例6.映射f∶AB,如果满足集合B中的任意一个元素在A中都有原象,则称为满射,已知集合A中有4个元素,集合B中有3个元素,那么从A到B的不同满射的个数有多少个?

解析:集合A中的4个元素到集合B中的3个元素的不同满射个数等价于将4个不同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子都不空的不同放法。由题意可得有3C14C13C22=36个。

五、数形结合思想

例7.在一块10垄并排的地中,任选2垄分别种植A、B两种植物,要求A、B两种植物的间隔不小于6垄,则有多少种不同的选垄方案?

解析:如图,

用并排一行的10个小矩形表示10垄地,小矩形内加号表示选中,具体画出来有6种选取方式,再对每种选取方式,分别种植A、B两种植物,有A22种种植方法,因此共有6A22=12种选垄方案。

作者单位:贵州省龙里中学