数学复习之化归与整合

一、重视知识的化归

打个比方:新知识(新课)的学习,犹如是在给自己的一个小房间内购置各种各样的日用品,久而久之,便摆放得比较零乱。而复习过程恰恰是像整理房间一样,把各类物品按用途或其它方式有条不紊地摆放到适当的位置,并根据需要再添置一些。到派上用处时不需东找西翻乱折腾。部分学生独立的知识点确实学得比较扎实,一到综合复习,便忽视了知识点的归类、联系、演变,导致知识点之间的联系脱节、考虑问题不周到、解题不敏捷或拿到题目一时找不到切入口。反之,教师若能在复习过程中有意识地加以引导、练习,便会促其有飞跃性的提高。

二、重视知识的整合

所谓知识的整合,是我们在复习过程中要善于组题、拆题,要把重点知识组合成一道综合题,同时也能把一道综合题拆解成几个简单、独立的小命题、小结论,做到分合自如。这样能把零乱的知识点凝聚成庞大的知识块,甚至自己独树一帜的知识。

例1:正方形ABCD的边长2,以A为圆心,AB长为半径画弧,如图1所示,M与CD、BC、BD相切,求M的半径。

这是一道纯几何题,借助正方形的对角线AC的两种不同求法得到一个关于M的半径r的方程即可,但它留给我们的思考空间却很大。如:

变式一:与锥体组合

如图2,在原题基础上可再问以A为圆心,多少长为半径再画弧与AB、AD交于点P、点Q,使得所截的扇环卷成一个圆台的侧面,刚好与以M为底面,制成一个上口大的纸?

变式二:与动点,函数组合。

如图3,若点G在对角线AC上运动,以点A为圆心,AG为半径画弧,与AB、AD分别交于E、F点,(E、F点可以与B、D点重合)作M与CD、BC、EF相切,设M的半径为R,AG长为y,求y与R之间的函数关系式及自变量R的取值范围。

变式三:利用正方形与菱形独有的共性

若把正方形ABCD压扁,使∠DAB=60°,其它条件同变式二,如图3同样可以求出变式二中的问题。

变式四:与平面直角坐标系组合

可以把变式三中的图形放到坐标系上,如图4,在直角坐标系中,已知菱形OABC的顶点O在坐标原点,顶点B在y轴上,OA边在直线y=x上,AB边在直线y=-x+m上,其它条件同变式二。

以上通过一连串的知识组合,可以帮助学生了解知识点之间的联系与延伸,大大拓宽了复习面。我想,任何一道好题,经过细细品味,定能学到许多,胜过做几十道,甚至几百道习题都不能达到的效果。

三、重视知识价值的体现

任何知识都来源于生活实际,而我们学知识的最终目的还是服务于生活,空有满脑子的书面知识,但不善于解决实际问题,那便成了书呆子。不能真正体现知识自身的价值,因此,近几年中考、高考,以及平时的教学活动,都把知识的实际运用能力的考查提到了前所未有的高度,所以,复习过程中一定要突出这方面的训练。

例2:星期天,数学张老师提着篮子(篮子重0.5斤)去集市买10斤鸡蛋,当张老师往篮子里拾称好的鸡蛋时,发觉比过去买10斤鸡蛋时个数少很多,于是她将鸡蛋装进篮子再让摊主一起称,共称得10.55斤,即刻她要求摊主退1斤鸡蛋的钱,她是怎样知道摊主少称了大约1斤鸡蛋的呢(精确到1斤)?请你将分析过程写出来,由此你受到什么启发(请用一至两句话,简要叙述出来)?

解析:此题考生若不认真思考,很容易被这一生活现象所迷惑,事实上,只要借助函数的有关知识,考生就不难理解数学张老师对摊主的要求是合情合理的。设摊主称得鸡蛋的重量为x斤,鸡蛋的实际重量为y斤。

不难发现,鸡蛋的实际重量y(斤)是摊主称得重量x(斤)的正比例数。因为篮子的实际重量为0.5斤,鸡蛋放入篮子后再一起称,增量为10.55-10=0.55(斤),y=x。

当x=10时,y= ×10≈9(斤)

10-9=1(斤)

所以摊主少称了大约1斤鸡蛋。

近几年来,应用题的取材富有时代特征,纷纷取材于国情国策、生产生活、环保生态、市场经营、经济核算、规划策略等方面。这些新题也体现出了与时俱进的勃勃生机。引导学生关注社会热点,了解时代脉搏,又可让学生从数学角度分析社会现象提高应用能力,真正起到学以致用的效能,使我们的数学知识彻底地服务于社会,创造出更多的社会财富,同时也为我们把数学知识领域推向更广阔的宇宙空间奠定了一定的基础。