高考数学必做解答题——数列

原文作者：佚名

等差、等比数列的综合，数列求和

（）必做1 在等比数列{a}中，公比q≠1，等差数列{b}满足b=a=3，b=a，b=a.

（1）求数列{a}与{b}的通项公式；

（2）记c=（-1）nbn+a，求数列{c}的前n项和s.

[牛刀小试] [论文网]

破解思路 第（1）问求两个基本数列的通项，“基本数列（等差、等比数列）、基本量（（a，d）和（a，q））、基本公式（通项公式、前n项和公式）、基本思想（方程思想）”是解决这些问题的经典方法. （2）求数列前n项和，{a}是等比数列，数列{c}不是基本数列，可以先分组.观察数列（-1）nbn，发现前后两项合并可以产生常数数列，但最后项数的奇、偶不确定，所以要分类讨论；或者分奇、偶项按符号分别求和.

精妙解法 （1）设等比数列{a}的公比为q，等差数列{b}的公差为d.

由已知得：a=3q，a=3q2，b=3+3d，b=3+12d，

3q=3+3d，

3q2=3+12d ?q=1+d，

q2=1+4d?q=3或q=1（舍去），所以d=2.

所以a=3n，b=2n+1.

（2）由题意得c=（-1）nbn+a=（-1）·（2n+1）+3，

所以s=c+c+…+c=（-3+5）+（-7+9）+…+（-1）n-1（2n-1）+（-1）（2n+1）+3+32+…+3n.

当n为偶数时，得s=n+=+n-；

当n为奇数时，得s=n-1-（2n+1）+=-n-.

（）必做2 数列{a}的前n项和为s，若a=3，s和s满足等式s=s+n+1.

（1）求s的值；

（2）求证：数列

是等差数列；

（3）若数列{b}满足b=a·2，求数列{b}的前n项和t；

（4）设c=，求证：c+c+···+c>.

破解思路 第（1）问一般难度不大，主要是引导进一步理解题意，同时为后面的求解做一些准备.这里问题中{s}是由s构成的数列，s是数列的项，破除s总是通常意义上的前n项和的定式. 第（2）问是近两年高考数列问题的常见模式，直接给出“脚手架”，只要根据条件，代入证明，不用考虑构造等技巧，通过代数式变形即可. 第（3）问的题型模式非常明显，一般就是“错位相减”的特征，这种方法主要用于求{a·b}型数列的前n项和，其中{a}，{b}分别是等差数列和等比数列.前面完成以后，最后一问就水到渠成了.

精妙解法 （1）由已知：s=2s+2=2a+2=8.

（2）因为s=s+n+1，两边同除以n+1，则有-=1. 又=3，所以

是以3为首项，1为公差的等差数列.

（3）由（2）可知，=3+（n-1）=n+2，所以s=n2+2n（n∈n?）.

当n=1时，a=3；当n≥2时，a=s-s=2n+1.

检验：当n=1时，亦满足上式，所以a=2n+1（n∈n?）.

所以b=a·2，所以b=（2n+1）22n+1，t=b+b+…+b+b.

所以t=3·23+5·25+…+（2n-1）·22n-1+（2n+1）·22n+1 ①，

22t=3·25+5·27+…+（2n-1）·22n+1+（2n+1）·22n+3 ②，

由①-②得：

-3tn=3·23+2（25+…+22n-1+22n+1）-（2n+1）·22n+3=3·23+2·-（2n+1）·22n+3=+，

所以t=

n+·22n+3-.

（4）由（3）知c==+-·

n，

所以c+c+…+c=·+·n-·

=-+

n>-≥-=.

极速突击 解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件.

等差与等比数列是两类重要的数列模型，它们的综合运用仍然是高考的最大热点所在，高考命题专家既要依据两类数列模型的基本知识和性质命题，又要站在两类数列模型所提炼出的数学思想方法上进行拓展，做到“源于等差、等比数列，多角度考查非等差、等比数列”. 在数列求和问题中，除了公式法是常用的方法外，高考还会重点考查“折项分组法”“错位相减法”“倒序相加法”“裂项相消法”.

（1）公式法

如果一个数列是等差数列或等比数列，就可采用对应的公式，当等比数列的公比是字母时，要注意分类讨论.

（2）拆项分组法

有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，则先分别求和，然后合并. 要熟记公式12+22+…+n2=n·（n+1）（2n+1）.

（3）错位相减法

这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{anbn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列.

（4）倒序相加法

这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列（反序），当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和.

（5）裂项相消法

利用通项变形，将通项分裂成两项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和.

数列与不等式

（）必做3 已知各项均为正数的数列{a}满足a=2a+anan+1，且a+a=2a+4，其中n∈n?.

（1）求数列{a}的通项公式；

（2）设数列{b}满足b=，是否存在正整数m，n（1

（3）令c=，记数列{c}的前n项和为s，其中n∈n?，证明：≤s<.

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破解思路 （1）用方程思想找出a，a更明确的关系. （2）因b，b，b成等比数列，则必有b=bb，再根据自然数的性质进行推理，此问对思维能力要求较高. （3）数列问题中的不等式证明的核心仍在数列知识，主要是通过数列求和然后适度放缩达到证明的要求.

精妙解法 （1）因为a=2a+anan+1，即（a+a）（2a-a）=0.

又a>0，所以有2a-a=0，即2a=a.

所以数列{a}是公比为2的等比数列.

由a+a=2a+4得2a+8a=8a+4，解得a=2 .

从而，数列{a}的通项公式为a=2n（n∈n?）.

（2）b==，若b，b，b成等比数列，则

2=·，

即=，可得=.

所以-2m2+4m+1>0，解不等式得1-

又m∈n?，且m>1，所以m=2，此时n=12 .

故当且仅当m=2，n=12时，可使得b，b，b成等比数列.

（3）由已知可得c==·

=·

+

=·

+

+

，

所以s=·

+…+

+·

-

+

-

+ …+

-

=·

+·

-

=·1-

·.

又由于

n+1·=

n+1·

1+递减，所以0<

n+1·≤

1+1·=.

所以≤·1-

·<，即≤s<.

极速突击 通常情况下，放缩法常常被用于解决数列求和型不等式问题.其求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和.对于第一种途径，需要该数列的前n项和能直接求出，或者通过变形后求出.求和过程中，一般需用到等差、等比求和公式或者使用分组、裂项、错位相减、倒序相加等方法.然而有的情况，数列是不能直接求和的，因此必须选择第二条途径，即先对数列进行放缩处理，再做求和运算.

（）必做4 设正项数列{a}的前项和是s，若{a}和{}都是等差数列，且公差相等.

（1）求{a}的通项公式；

（2）若a，a，a恰为等比数列{b}的前三项，记数列c=，数列{c}的前n项和为t，求证：对任意n∈n?，都有t<2.

破解思路 （1）根据基本数列、通项公式可解；（2）由（1）的结果可得c=，数列{c}不是基本数列，一些基本方法也不能使用.数列问题中不等式的证明一般有三种情形：先求和再适当放缩；先放缩再求和；利用函数方法等.在不能直接求和时，可考虑先放缩，<==-，然后通过裂项抵消求和达到证明目的.

精妙解法 设{a}的公差为d，则==n，且a-=0.

又d=，d≠0（若d=0，则a==0），所以d=，a==，a=.

（2）由已知b=a=，b=a=，所以b=×3n-1.

因为c=，可得c=.

故当n≥2时，可得<==-，

所以当n≥2时，t=++…+<+

-+

-+…+

-=2-<2.

又因为t=<2，所以对任意n∈n?，tn<2.

（）必做5 已知函数f（x）=ax--2lnx， f（1）=0， f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为0，数列{a}满足a= f′

-n2+1，a=4.

（1）证明：对一切整数n都有a≥2n+2；

（2）试比较+++…+与的大小，并说明你的理由.

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破解思路 （1）利用导数的几何意义列方程组求出a，b，得出函数f（x）的表达式；由已知条件写出数列{a}的递推关系式；用数学归纳法证明（1）问中的不等式. （2）利用（1）问的结论，对递推公式通过放缩进行化归分析，将a+1的倒数转化为可求和的等比数列，利用放缩所求得的和推导出大小.

精妙解法 （1）因为f（1）=a-b=0?a=b，所以f（x）=ax--2lnx，

所以f′（x）=a+-.

由题意知f′（1）=0，可得a+a-2=0，解得a=1.

所以f′（x）=

-12，于是a=f′

-n2+1=a-2na+1.

下面用数学归纳法证明对一切整数n都有a≥2n+2成立.

①当n=1时，a=4≥2×1+2，不等式成立；

②假设当n=k时，不等式a≥2k+2成立，即a-2k≥2成立.

则当n=k+1时，a=a（a-2k）+1≥（2k+2）×2+1=4k+5>2（k+1）+2.

所以当n=k+1时，不等式也成立.

由①②知?n∈n?时都有a≥2n+2成立.

（2）由（1）得a=a（a-2n+2）+1≥a[2（n-1）+2-2n+2]+1=2a+1（?n∈n?，n≥2），

于是a+1≥2（a+1）对?n∈n?，n≥2成立，

所以a+1≥2（a+1），a+1≥2（a+1），…，a+1≥2（a+1）成立.

累乘可得：a+1≥2n-1（a+1），则有≤·成立（?n∈n?，n≥2）.

所以+++…+≤

1++

+…+

=1-

<.

放缩的方法有如下两种：

①拆分放缩，纠正偏差. 放缩量的多少直接影响我们能否达到预证目标，那么怎么控制放缩量呢？我们可按照一定的规律和需求，调整“间距”，使放缩的量精细化，即将放大过头的量砍去，缩小过多的量补上.如同做菜一样，把握好火候很重要.不同的菜对火的大小要求不一，炒菜需要大火爆炒，炖汤则需要小火慢炖.

②限项放缩，纠正偏差. 若每一项都放大或缩小一点点，累积起来就会扩大或缩小很多，这将导致放缩结果出现偏差.若适度减少放缩的项，保留更多的项不被放缩，则可以纠正偏差，逐步逼近预证目标.

数列与解析几何

（）必做6 已知函数f（x）=xk+b（其中k，b∈r且k，b为常数）的图象经过点a（4，2），b（16，4）. p，p，p，…，p，…是函数f（x）图象上的点，q，q，q，…，q，…是x正半轴上的点.

（1）求f（x）的解析式；

（2）设o为坐标原点，oqp，qqp，…，qqp，…是一系列正三角形 ，记它们的边长是a，a，a，…，a，…，求数列{a}的通项公式；

（3）在（2）的条件下，数列{b}满足b=，记{b}的前n项和为s，证明：s<.

[牛刀小试] 破解思路 综合性问题必须化整为零、分而治之. （1）利用待定系数法直接求解. （2）数列与解析几何的综合问题，往往是数列递推，需要数形结合剥除几何的外衣，回归数列的本质. 可以先求出a，a，a，找出数列规律，重要的是在特殊项的求解过程中理解一般项关系的推导方法，从而确定递推关系. （3）由通项形式大致可以确定解题方向是“错位相减”，求和后放缩证明.

精妙解法 （1）2=4k+b，

4=16k+b?b=0，k=?f（x）=.

（2）由

y=，

y=x?x=?a=.

由

y=，

y=（

x-s） ?x--s=0，于是可解得x=.

将x代入a=2（x-

s）=+，由此原问题转化为

“已知

a

-2=且a=，求a”.

又

a

-2=，两式相减可得：

a

-2-

a

-2=a，整理得：（a+a）

a

-a

-=0.

又因为a>0，所以a-a=，从而数列{a}是以为首项、为公差的等差数列，即a=.

（3）b==·=·，3s=+++…+，

所以s=+++…+，

两式相减得：s=1++++

…+-=-=2-，

整理得s=-<.

极速突击 数列与解析几何的综合，往往从探究数列递推关系开始，探究历程往往是“探寻递推公式演变成通项公式①数列前n项和的研究；②通项公式的延续拓展”，所以找到突破口的关键是要探究点与点的关系，挖掘数列的递推关系.