数学分析思维方法探究以及教育

1数学分析中的几种数学思想方法

1.1运动、变化的思想和方法

以函数为基本研究对象的数学分支-一数学分析.标志着数学从常量数学时期到变量数学时

期的转折。也是数学思想方法上一次重大变革。数学分析中的一个基本思想，就是运动、变化的思想，用运动变化的思想去考察间题，从运动变化当中去认识事物.运用运动变化的思想来分析、解决问题的方法是数学分析的基本方法。在数学分析中，/、们为了认识某些客观事物的本质，可以，甚至必须运用运动变化的思想，把它们放在无限的、运动变化的过程中,同过对无限、运动变化过程的研究而完成对这个事物的认识。例如，在切线问题中，把切线看成割线无限运动与变化的稳定趋势。在变速运动中，从小段时间内平均速度的无限变化当中去理解和计算瞬时速度等等就是如此。数学分析为各种变化过程、运动过程中的特征变量随其他一些变量相依而变的关系的建立提供了分析研究的方法。极限的思想和方法正是这种运动、变化思想和方法的反映。极限是数学分析中许多重要概念(如连续、导数、积分)赖依建立的基础.又是解决数学问题的重要工具。极限的思想和方法贯穿于整个数学分析的始终。

1.2辩证法的思想和方法

数学分析包含着丰富的辩证思想，正如恩格斯所说:“变数的数学一其中最重要的部分是微

积分—、本质上不外是辩证法在数学方面的运用”。通过变量、函数、极限、微分和积分等基本概念和基本方法，将辩证思想渗透到整个数学分析之中。在一定条件下，使数学中已知与未知、近似与精确、常量与变量、直与曲、有限与无限、连续与不连续等基本矛盾的对立面互相转化，是数学分析中辩证思想的具体体现。数学分析中运用辩证思想解决问题例子屡见不鲜。例如，通过直认识曲是数学分析解决许多问题的思想方法之一。众所周知，直与曲是有严格区别的两个概念，一般情况下，无论在理论的处理上还是在实际的计算上，直比曲要简单得多。然而在形而上学看来，曲就是曲，直就是直，非此即彼;唯物辩证法则认为，在一定条件下，曲与直可以互相转化。恩格斯深刻地指出:“高等数学的主要基础之一是这样一个矛盾，在一定条件下直线和曲线应当是一回事。”数学分析正是在曲的局部以直代曲。从函数的角度看，就是在自变量变化的小范围内，以线性函数代非线性函数，解决了在初等数学中无法解决的一些问题。求曲边梯形面、曲线的弧长，求曲顶柱体体积、曲面面积等等，都是在局部以直代曲(以直线代曲线或以平面代曲面)解决问题的典型例子。

1.3特殊与一般彼此转化、相互作用的思想和方法

特殊性与一般性是数学研究中一个基本矛盾。特殊与一般是一个矛盾的统一体:一般寓于特殊之中，特殊中体现着一般。它们彼此转化、相互作用在数学分析中往往表现为由特殊到一般，或由一般到特殊，这是数学分析中的重要思想和方法。

1.3.1数学分析概念、理论、方法的建立与发展体现了由特殊到一般

回顾数学分析形成与发展的历史，纵观数学分析中有关基本概念的形成或引入，有关基本理论与方法的建立以及概念、理论与方法的发展，都经历着由特殊到一般的认识发展过程，体现了人类认识运动的基本秩序—由认识个别的特殊的事物，逐步地扩大到认识一般的事物。如，从定量描述某些现象的几个不同的量之间的相互依赖关系到函数概念，从求变速运动物体的速度与求曲线的切线斜率到一元函数微分学，从求变速运动物体的路程与求曲边梯形的面积到一元函数积分学，从求曲顶柱体体积到重积分，从求曲线、曲面的质量与求变力所作的功、流体的流量到曲线积分与曲面积分等等，都体现了数学分析中由特殊到一般的思想方法。又如，从数列到函数，从数列极限到函数极限，从数列到函数列，从数项级数到函数项级数，从一元函数到多元函数，从一元函数微积分到多元函数微积分等等，同样体现了这一思想方法。而初等函数连续性间题，微分法与积分法的建立等等，同样体现了数学分析有关基本理论与方法的建立与发展也是由特殊到一般。

1.3.2数学分析解决问题的过程通常体现了由特殊到一般或由一般到特殊

在数学分析解决问题过程中，常见的方法就是当一个一般性间题一时不易解决或不能解决时，往往先考虑它们的特殊情况，然后再推广到一般情况，或者以特殊情形的结论为基础来解决一般性问题。这是因为特殊性问题常常较为方便，而且特殊性问题的解决往往孕育着一般性问题的解决方法，或者特殊性问题的解决为一般性问题的解决奠定了墓础，创造了条件。与之相反，有些问题的特殊情形却不易解决，而它的一般形式由于有一般的解决方法而较易解决，这时往往把一般情形推广到特殊性问题，使特殊性问题作为它的特例，当这种一般性间题解决之后，那种特殊性问题也就随之解决。

例如，指数函数了ax(a>0，a≠1)在其定义域(-∞，+∞)上连续性的证明[1]，首先考虑特殊情形:证明ax在点x=0处的连续性，然后考虑一般情形:证明。ax在任一点的连续性。这种一般情形的证明是以ax在x=0的连续性为基础的，而且ax在x=0处右连续性的证明也是以其特殊情形为基础的。

这就是先特殊后一般，由特殊证明一般的一个典型例子。这种处理问题的方法是数学分析证明问题的重要思想方法之一。又如，通过归结原则(Heien定理)，由数列极限研究函数极限(函数极限存在的Ca、勿准则充分性的证明就是如此，关于化二重积分为累次积分的讨论〔伙首先讨论矩形区域情形，然后讨论一般区域情形)，Green公式的证明依次就区域为既是x一型又是y一型的特殊情形、由一条闭曲线围成的较一般情形、不止由一条闭曲线围成的一般情形进行证明等等，它们都体现了由特殊证明一般的思想方法。

然而在有些数学分析问题上，处酮题的方法则必须由一般到特殊。求数项级数

的和直接求是很困难的，但求幕级数的和函数有逐项微分与逐项积分的常用方法，因此可考虑把原数项级数推广为某幕级数，使它成为该幕级数当自变量取某特定值时的特殊情况，通过求幕级数的和函数来求数项级数的和。,可求得s(x)=(x-1)ex+1,从而这就是先一般后特殊，由一般求特殊的典型范例。又如，通过LHospital法则，由函数极限求数列极限，由含参量积分计算定积分与非正常积分等等，都体现了由一般计算特殊的思想方法。另外数学分析概念、理论与方法的应用也体现了由一般到特殊的认识过程，事实上，应用概念、理论与方法解决问题过程的实质就是运用一般与特殊的关系的思想不断地变换问题，连续的简化问题，直到将问题归结为熟知的基本问题或已解决的简单间题，最后加以解决。

1.4数形结合的思想和方法

纯数学研究的基本对象是客观世界的数量关系和空间形式，而数量关系与空间形式之间往往

存在着密切的联系，很多抽象的数学间题都蕴含着某种几何意义。注意发掘、揭示抽象问题所具有的几何模型，对抽象问题进行几何解释，使抽象问题具体化、形象化、直观化。同时借助几何直观，启发解决间题的思路是数学分析中常用思想和方法。比如，极限、导数与微分、二元函数偏导数与全微分、定积分与重积分等的几何意义，对于深入理解、正确掌握这些基本概念是重要的，并且开辟了应用这些基本概念解决各种实际问题的广阔途径(例如应用导数求曲线的切线与法线方程，应用定积分与重积分求面积与体积等等)。又比如，闭区间上连续函数基本性质、微分与积分中值定理的几何解释，不论对定理自身的理解，还是对启发证明其结论的思路都是很有意义的。另外象从几何角度进行隐函数存在条件的分析与结合几何图形进行隐函数存在唯一性定理的证明②那样，借助几何直观，讨论问题、论证问题的例子在数学分析中更是随处可见。

2数学分析中重视数学思想方法教学的几个问题

2.1提高对数学思想方法教学必要性的认识

数学教学之根本目的应是培养和提高学生处理实际间题的能力，为他们提供应用于其它科学

的数学思想和方法，而不是单纯地为了给学生提供求解具体问题的工具。在某种意义上，教给学生数学思想方法，培养学生运用数学思想方法的能力，对提高学生的数学修养与数学思维水平，促进学生智力开发是十分有意义的。

2.2教学中注意数学思想方法的总结与注人

数学分析中，在概念的形成与引入，在理论(定理、法则)的建立与论证，在习题的推导与计算等各个方面都蕴含着丰富的数学思想方法。教学中要有意识地注意数学思想方法的考查、研究与总结。数学教学不能单纯的、形式的看作是定义的介绍、定理的推导、公式的应用，如果这样，那就把数学教学教条化。数学教学中应注意注入数学思想、体现数学方法，才能全面实现数学教学应有的作用。

2.3重视学生运用数学思想方法能力的培养

从数学思想方法的学习到数学思想方法的应用，不是一件简单的事情。没有充分的、有意识的训练、学生的应用是不会形成的。数学分析教学在传授知识的同时.努力培养学生运用数学思想方法的意识、兴趣的能力，是我们教育改革值得重视的一个课题。教学中，要引导学生运用数学思想、数学方法解决问题，培养学生运用数学思想方法的能力，这是进行数学思想方法教学的基本目的。