小议中学生数学思维培育以及检测

我们知道，能力是顺利完成某种活动所必需的并直接影响活动效率的个性心理特征。数学能力是人们在从事数学活动时所必需的各种能力的综合，而其中数学思维能力是数学能力的核心。在实际教学中，由于受应试教育影响，很多学校的数学教学并没有将学生思维训练放在核心地位，而是跟着考试走。学生不是围着书本和教师转，就是陷入题海之中，不能自拔，不能多思考和多方面去灵活解题。或满足于一知半解，对概念不求甚解，依葫芦画瓢作题，不去领会解题方法的实质；或不善于把所学的内容归纳整理。久而久之，学生的思维得不到培养和发展，造成学生思维封闭、惰性、僵化、凌乱、保守。因此在数学教学中培养学生数学思维具有重要意义。

一、培养探究精神，让学生体验发现与创造培养研究精神思维

数学探索能力是数学思维能力中最富有创造性的要素，也是最难培养和发展的要素。探索能力强的学生，能迅速地轻易地从一种心理运算转到另一种心理运算，表现出较强的灵活性，在对思维活动的定向、调节和控制上，有较强的监控能力，对思维过程有较强的自我意识，善于提出问题，敢于大胆猜想。在探索活动中，教师要加强学生在理解知识时出现的困惑给予知道解惑，并对数学理解进行反思，根据新课程理念和学生实际，开发利用教材的探索内涵。

二、利用认知冲突促进学生思维发展

当呈现给学生的问题有几种可能性时，他们往往产生认知冲突，不知选择哪个，这样易引起的最大限度心理的“不平衡”，能激发学生的求知欲和好奇心。而求知欲与好奇心又是激发思维活动的一种内在情感力量，它对思维具有激活和指向作用，冲突的解除过程就是认知结构自我调节和完善的过程，是理解深化的过程。

如在教授“不等式”时，对学生学习不等式的理解程度创设教学情境来促进学生思维拓展。师：请解不等式a-2＞5．生：a-2+2＞5+2，即：a＞7.师：为什么要在不等式两边加2呢？生：在不等式两边同时加1，或加10，或加100，总之不等式两边同时加上同样的数或等式，不等号的方向都不改变。师：如果在较大的一端加2，同时在较小的一端加比原来小的数（如加1），那么不等号的方向也不改变，例如：a-2+2＞5+1，即a＞6，而这与上面的算法结果就不同了，这是怎么回事？在这个教学情境中，学生的心理上产生了如下三种认知冲突：(1)就结果来说，a＞7和a＞6，哪个正确？(2)就方法来说，不等式两边同时加上一个数与不等式较大的一端加大数，较小的一端加小数哪个正确？(3)就两种解法来说，“a＞6a+c＞b+c”与“a＞b，c＞da+c＞b+d”哪个正确？学生思维活跃，课堂上呈现出情绪激昂、主动思维的气氛，最后，在教师的诱导下，以排除认知冲突为契机，加深了理解，弄清了不等式方向改变与不改变需要的条件，从而促进学生在认知的过程中，通过两者间的关联以增强学生思维的拓展性。

三、以数学内容的多变灵活性培养学生思维

（一）发散思维能力的培养

如在学末复习时，要精选一些具有代表性、巩固性和灵活性的习题，从各种不同角度，寻求不同的解（证）法，进行“一题多解”的训练，还可以改变条件进行“一题多变”和“多题一解”的训练，以培养学生的发散思维和综合思维能力。

例1：一个多边形外角都等于30度，求它的边数。设多边形的边数为n，可以根据一个外角与其相邻内角互补、多边形内角的定义以及多边形内角和定理，列出方程（180-30）n=（n-2）180求解：还可以根据多边形内角和定理的推论，及多边形外交和的定理列出方程30n=360求解。通过对持有创造性解法的学生给予表扬，加以激励，他们就能逐步养成多角度观察、思考问题，探索采用多种方法解决问题的习惯，这样不仅可以提高学生的思想水平，而且可以发展学生立体思维和发散思维的能力。这是综合运用数学知识和方法提高解题能力的重要措施。

（二）观察能力的培养

虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础，所以必须重视观察能力的训练。要训练学生会从一个题目的表面形式上进行观察，发现其特征，挖掘出题目中的隐蔽条件，这样使学生对一些数学题不但能用常规方法解题，而且会采用特殊方法解题。

例2：AD切O于点A，BD过圆心O，AEBD于点E，根据图形把比例的式子写出10个。（一个比例式由它变形得出的比例式，按一个式子计算）。

解析：本题是一个结论开放的数学题，应注意观察图形，挖掘出题中所隐含的条件：(1)∠BAC=Rt∠，(2)∠OAD=Rt∠，(3)AC和AB分别为AED的内外角平分线，(4)∠ACD=∠B，这样可设计分离出四个基本图形：

由图(1)、(2)根据相似三角形性质，可分别写出9个不同比例式。由图(3)根据三角形内、外角平分线性质可写出3个不同的比例式。由图(4)根据相似三角形性质可写出3个不同的比例式。因此，此题一共可写出24个不同的比例式，也就不会出现写不出比例式或比例式写重复的情况了。所以，在平时的教与学中，应注意指导学生学会观察、善于观察，通过观察发现题目特征，挖掘隐含条件，灵活寻找解题途径。

四、初中数学教学评价性来培养学生思维能力

评价思维是一种较高级的思维活动。它是根据一定的评价标准，对可能的多种方案或结果作出某种判断的思维过程。在解题过程中，当存在不同的突破口或几种可行的解题方案时，取那种最优？当有多条思维时，何种最佳？当问题结论未显示时，何种结果概率较大？当面临几种不同答案时，何种为正确？

例4：甲乙二人骑自行车从相距180里的两地同时相向而行，丙骑摩托车与甲同时同向出发，遇乙后立即返回迎甲，遇甲后又立即返回迎乙……直到甲、乙二人相遇为止。若丙的速度为60里/小时，甲、乙二人速度均为30里/小时，求丙一共走了多少路程？

解法一：丙与乙第一次相遇时，多需要时间为180/30+60=2（小时），这期间丙走了60×2=120（里）；从丙与乙第一次相遇，到与甲首次途中相遇，所需时间为180-30×4/30+60=2/3（小时），这期间丙走了60×2/3=40(里)；从丙与甲首次途中相遇，到与乙第二次相遇所需时间为180-30×2×（2+2/3）/30+60=2/9（小时），在这期间丙走了60×2/9=40/3（里）……，丙所行路程一共为：120+40+40/3+……=120×1/（1-1/3）=180（里）。

解法二：丙行驶时间的综合等于甲、乙二人从出发到相遇所需的时间，即180/30×2=3（小时）丙行驶的总路程为60×3=180（里）。

可见，解法二即严密又捷足先登。这说明了同一道题往往可以有多种解题通道，应根据简捷性的标准作出评价。评价思维是较发散思维更为高级的阶段，通过发散思维获得的若干方案，需要通过评价思维确立其可行性大小、合理程度如何，丙作出评估判断。

五、学生数学思维灵活性能力的测定

学生数学思维的灵活性是可以测定的，例如可以以一题多解的解数和一题多变的变化数为客观指标，从以下三个方面进行测定：

(1)多解或“发散”的程度，如规定每获“一解”得一分，得分发散程度为最高。

(2)伸缩与精细的程度，如让测试的学生尽可能多地写出表示的数学式子，被测试的学生写出的越多，其伸缩的程度越高。

(3)对注意力迁移水平的测定，如运用不同的方法达到一题多解和举一反三的程度。

比如有这样一道题目：讲的是矩形折叠问题，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm将矩形折叠，使点B与点D重合，求折痕EF的长是多少？

同学们采用四种不同的方法：

①用相似三角形；②用平行移动；③用三角函数定义；④利用面积；此题的目的是通过学生一题多解，启发学生的灵活性思维，从而提高了学生的综合解题能力。

总之，良好的思维能力不是一朝一夕就能形成的，但只要根据学生实际情况，通过各种手段，坚持不懈，持之以恒，就必定会有所成效。