数学分析中的典型级数的极限问题的探讨

摘 要：数学分析是近代数学的基础，是大学应用数学、信息计算科学和统计分析等专业的学生的必修课，也是现代科学技术中应用最广泛的一门课程。数学分析中几乎所有的概念都离不开极限。因此，极限的概念是数学分析中的重要概念，极限的存在性和求极限问题是极限理论的基本问题。在数学分析教材中，作者详细介绍了数列极限、函数的极限、数列极限的存在性及其求法以及函数极限的存在性及其求法等。在该文中，通过引进正则函数列的概念，给出求数学分析中一些典型级数的极限的一种新方法。

关键词：函数列 正则性 级数 极限

中图分类号：D11 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2015）10（c）-0246-02

数学分析是近代数学的基础，是大学应用数学、信息计算科学和统计分析等专业的学生的必修课，也是现代科学技术中应用最广泛的一门课程。数学分析中几乎所有的概念都离不开极限。因此，极限的概念是数学分析中的重要概念，极限的存在性和求极限问题是极限理论的基本问题。在数学分析教材中，作者详细介绍了数列极限、函数的极限、数列极限的存在性及其求法以及函数极限的存在性及其求法等，见文献[1]。在该文中，通过引进正则函数列的概念，给出求数学分析中一些典型级数的极限的一种新方法。

1 正则函数列

在这一部分中，我们引进正则函数列的定义，并且给出函数列为正则的充分必要条件。

定义1：设是定义上的函数列，

（1）

是可求和的数项级数，其部分和为并且作级数

（2）

若对于每个，级数（2）是可求和的，其普通和为，并且当时，向量值函数收敛于，则称级数（1）按函数列是广义求和的，称为级数（1）关于函数列的广义和。

定义2：设由函数列如上给出一个广义求和法，若每个可求和的数项级数也是按函数列是广义求和的，而且广义和等于普通和，则称函数列是正则的。

根据文献[2]，可以得到以下结论：

定理1：设是定义在上的函数列。若函数列是正则的，则

（1）;

（2）;

反之，若函数列除了满足（1），（2）以外还满足

（3）对任意，存在常数，使≤，则函数列是正则的。

定理2：设是定义在上的函数列。若函数列是广义的，则

（1）;

（2）;

反之，若函数列除了满足（1），（2）以外还满足

（3）对任意，存在常数，使≤，则函数列是正则的。

2 数学分析中一些典型级数的极限

在这一部分中，我们用函数列的正则性来讨论数学分析中的一些典型级数的极限。

例1：设，都是数列，并且满足

;

（2）;

（3）当时，级数收敛，当时，级数发散，则级数当时收敛，并且。

证明：由条件（2）与（3）可证，当时，

级数收敛。根据级数的乘法规则，我们有

=

如果令，则，

又令，，，则满足

（1）;

（2）;

（3）对任意，

因此，根据定理1，函数列是正则的，

从而

故。

例2：若，则证明

。

证明：的幂级数展开为，若令，则满足

（1）;

（2）;

（3）对任意，

因此，由定理2，函数列是正则的，即

故，

运用函数列的正则性，我们可以讨论类似的很多问题，在这里我们不再一一举例说明。

参考文献

[1] 欧阳光中，姚允龙，周渊.数学分析[M].上海：复旦大学出版社，2011.

[2] 阿布都克里木・阿吉.广义求和法的几种推广[J].新疆大学学报：自然科学版，1993，10（3）：28-35.