数学解题中的联想和探索

【摘 要】在数学教学过程中，抓住典型例题进行深入讲解，可启发学生对例题的思考，探索更多更深层次的结论和方法。解完一题后应善于联想，探索能否在保持已知条件不变的情况下得出更深刻的结论。

【关键词】数学教学 联想 探索

【中图分类号】G712 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2015）13-0174-02

在数学教学过程中，抓住典型例题进行深入讲解，可启发学生对例题的思考，探索更多更深层次的结论和方法。步步深入，层层推出，既使知识达到一定的高度，又可降低知识的坡度，既加深丰富了所学知识，又可培养学生的思维，能更有效地提高教学效果。

此外，解完一题后应善于联想，探索能否在保持已知条件不变的情况下得出更深刻的结论。这样的探索对于培养学生锲而不舍的精神及创造性思维是大有裨益的。

下面略举几例，期望能起到举一反三、触类旁通的作用。

例1，计算（ctg3°-1）（1-ctg42°）的值。

解：（ctg3°-1）（1-ctg42°）=（ctg3°-1）[1-ctg（45°-3°）]

=（ctg3°-1）（1-）

=（ctg3°-1）・=-2。

以上解法利用了42°+3°=45°且ctg45°=1的特点，那么我们可以利用这个特点进行探索、联想。

探索1：（ctg4°-1）（1-ctg41°）=-2（证略）。

探索2：若x+y=45°，则（ctgx-1）（1-ctgy）=-2。

证：左=（ctgx-1）[1-ctg（45°-x）]=（ctgx-1）

[1-]

=ctgx-ctg45°-ctgxctg45°-1=-2=右

探索3：（1-ctg1°）（1-ctg2°）（1-ctg3°）…（1-ctg44°）=（-1）22（-2）22=222（证略）。

上述解法主要利用了x+y=45°及ctg45°=1的特点，同时ctg（180°+45°）=ctg45°=1，因此有下面的探索。

探索4：若x+y=225°，则（ctgx-1）（1-ctgy）=-2（证略）。

进而有下面的探索。

探索5：若x+y=k・180°+45°（k∈z），则（ctgx-1）（1-ctg y）=-2（证略）。

若将探索5的条件与结论倒过来，是否成立呢？因此有下面的探索。

探索6：若（ctgx-1）（1-ctg y）=-2，则x+y=k・180°+45°（k∈z）。

证：只证ctg（x+y）=1即可。

事实上，由条件知ctgx-ctgxctgy-1+ctgy=-2，所以ctgx+ctgy=ctgxctgy-1。

从而ctgx+ctgy≠0，否则条件不成立，所以，

即ctg（x+y）=1。

我们将探索5的结论变为[-ctg（-x）-1][1+ctg（-α）]=-2。

由x+y=k・180°+45°，知-x+（-y）=-k・180°-45°。

若令α=-x，β=-y，n=-k，则又可得到下面的探索。

探索7：若α+β=n・180°-45°（n∈z），则有（-ctgα-1）（1+ctgβ）=-2。

同样想到将探索7的条件与结论倒置，因此有下面的探索。

探索8：若（-ctgα-1）（1+ctgβ）=-2，则α+β=n・180°-45°（n∈z）（证略）。

例2，设x≥0，y≥0，z≥0且x+y+z=1。

求证：。

证明：x≥0，y≥0，z≥0

教学实践证明，教学中抓住典型例题，探索其蕴藏的内在联系和结构特点，加以改进、发展、延伸，既能强化学生的基础知识、运算能力和思维能力，又能使学生学得主动、灵活。