思维可视 情理相融

数学知识具有抽象性，而第一学段学生的思维又呈形象化，两者之间的矛盾使第一学段学生很难对抽象的数学知识进行意义理解。图式思维在数学教学中的合理应用，可以在儿童天性和学科本质之间架构起一座桥梁，让学科的情趣与学习的理趣有机融合，使抽象的数学知识直观化、形象化，培植学习兴趣，激活创造潜能。

图式思维是以思维模型图为基础，形象、直观地表达思维全过程的一种思维方式。通过图式观察、表征等活动，引导学生将抽象的数学概念、结构关系、思想方法、解题策略等用直观的图式揭示或表现出来，借助符号、图形、线条、语言等形式构成高度组织性的图，促进学生创造性地学习知识。

常见数学图示思维工具的基本图形是箭头、框图与符号等，它们包括如下几种常用形式：数学符号、自创符号、实物图、韦恩图、思维导图、概念地图、思维树等，在不同阶段、不同类型的数学学习中发挥不同的作用。在教学中，教师需要根据学习目标、学习材料的特点，设计不同水平的图式思维学习活动，提高学生的思维品质。

一、图式思维活动的设计

图式思维是一种生成性学习方式。威特罗克认为，生成是一种对两类关系所作出的主动建构――它既能够带来同化性学习，即图式适配;也能够导致顺应性学习，即建立新图式。他认为，生成学习理论涉及的策略：一是编码或重组，二是整合或精加工/概念重构。基于威特罗克的生成学习理论，笔者认为，第一学段图式思维活动的设计可以基于以下三个不同思维层次（如图1）进行，让学生享受思维的挑战过程。

（一）重组：基于情境的图式思维

重组，实质是对知识编码的过程，是一种同化性学习。对于第一学段的学生而言，这个阶段的图式思维更多的是借助于生活原型、实物操作等，通过图式思维手段，经历从操作到表象的体验过程，在主动建构知识的同时提升学力。基于实物的数学思维图式主要是去情境的几何图、抽象图等。例如，在“面积单位的认识”教学中，为了建立平方厘米的概念，在课堂上开展“寻找生活中的1平方厘米”的活动：

（1）食指的大小大约1平方厘米，让学生按食指手印（红色）――建立1平方厘米的图式（实物模型）。

（2）借助图式找1平方厘米、2平方厘米、5平方厘米、10平方厘米的物体表面并熟悉它们的大小――作为估计物体大小的实物参照，在反复观察与操作中建立各自面积大小的图式。

这些代表性的“图式”将成为学生心中的尺子，这样，学生在以后的数学学习中能自然地使用那些“尺子”作为观察物体表面的参照，把握物体表面的面积大小，帮助他们建立比较完善的面积单位概念。

（二）整合：基于转化的图式思维

整合，是对知识的精加工，应该说也是一种同化性学习。对于第一学段的学生而言，这个阶段的图式思维更多的是借助现实生活、数学知识等具体情境，通过图式思维手段，经历从情境到抽象的体验过程，在主动建构知识的同时提升学力。基于情境的数学思维图式还是以去情境的抽象图为主，鼓励学生用自创的符号系统表征数学问题。例如，在“乘法的意义”的教学中，为了让学生理解一个乘法算式的两种意义以及为什么不同的两种意义积始终相等的道理，可以引导图式表征：

（1）“2×4”表示什么？你能用图来说明吗？反馈。

（2）我们能不能用一个图来说明这两种不同的意义？小组讨论，交流反馈得出矩形图。

图2 “2×4”乘法意义的图式表征

乘法的语言核心是“几个几相加”，“2×4”既可以表示2个4相加，也可以表示4个2相加，交换的实质涉及的是“一份量”结构的改变。在这里，通过图式和算式的双向转化，通过不同的图式让学生理解“2×4”的乘法意义，实现空间上的不同维度思考，提升图式思维的能力。在这里，“数”回图中去，通过表征、互译等手段对数学知识进行生成性加工，引导学生经历文字语言、图形语言和符号语言之间不断互译的改造过程，这是理解数学知识的重要一步。

（三）创新：基于自创的图式思维

创新，是对知识的重构，这是一个顺应性学习，体现的是从模仿到探究的创作过程。基于创造的图式主要是概念图（数学概念的形成与整理）、思维导图（问题解决的过程与方法）、结构图（数学知识的结构关系）、监控图（数学学习的反思与调控）。这是图式思维的最高层次。概念图是一种知识以及知识之间的关系的网络图形化表征，也是思维可视化的表征，包含图形、链接、符号、文字等元素。概念图可以统整学习的概念，帮助学生把教材知识结构转化成自己的数学认知结构，在新旧知识之间架起网络。而将思维、想法运用符号、语言、线条和图形表示出来的有高度组织性的图式就是思维导图。借助思维导图可以使思维可视化，从而形成纵横分明的思维体系。

这对于第一学段的学生来说存在一定的难度，概念图、思维导图的教学以渗透为主，教师在教学中有意识地运用整体结构图，在经历较长时间的暗示性的模仿学习后再慢慢尝试让学生画树形图、云朵图、花形图等思维导图或概念图，增强学生整理与归纳知识的能力，形成关于所学知识的整体“图式”。例如，在“四边形的认识”教学中，教师就可以让学生根据各个图形的联系与区别自主画出概念图（如图3），在说理与归纳的过程中，进一步理解四边形的相关知识，建构完整的知识体系。

二、图式思维活动的展开

图式思维的选择与运用要符合学生的认知水平特点，符合教学内容的要求，摈弃形式主义，引导学生主动建构数学知识，形成数学思维能力。

（一）学习起始：让知识结构化

学生获取的是分散的缺乏联系的无序知识，教师要引导学生将知识重新编码、排序，运用概念图、图表、知识树等可视化图像手段可以把零散的知识点梳理成清晰的“知识网”。针对低年级学生的特点，新知教学开始阶段，教师可以提供一个整体的知识概念图，让学生明晰将要学习的内容;复习整理阶段，可以由教师提供或在教师帮助下绘成复习图，运用整体的知识结构图建构知识体系。例如，在“周长与面积”的整理与复习一课中，学生在计算、讨论等基础上梳理出概念图表（如图4）后，让学生通过画一画的方法进一步理解周长与面积的联系。

图4 周长与面积的区别

（1）在格子图中画一画，想一想周长与面积有什么联系。（格子图略）

周长是16厘米（边长为整数厘米）的长方形有哪几个？画一画，并算一算这些图形的面积，填在表格里。

（2）练后组织反馈，呈现结果并追问：

观察所画的图形和表格里的数据，你发现了什么？引导讨论，得出结论并板书（联系：周长相等的长、正方形，正方形面积最大），结合课件的动态演示图进行强化。

（3）辨析：“边长是4厘米的正方形的周长与面积相等”这句话对吗？

在这个片段中，教师运用了概念图表、画图、枚举、列表等多种方法来引导学生探究长、正方形的周长与面积的区别与联系，经历知识再生成的理解过程，使知识竖成线、横成片，形成关于周长与面积这两个容易混淆的数学概念的知识结构。可视化的概念图、图示、动态演示图等为学生提供了认知支架，使知识生成迅捷有效。

（二）探究新知：让思维可视化

在新知探究阶段，让学生将“思维路径”以图式的手段表现出来，将有形的文字、图、算式与无形的解题思路有机融合在一起，使思维过程外显可视，展现了知识建构过程的趣味性和生成性。如“乘加混合运算”中利用图式理解乘加、乘减运算顺序。

（1）你知道2×4+1表示什么意义吗？如果让你来画图，你觉得会是怎么一幅图？先在小脑袋里想一想，然后画下来。

（2）汇报，展示学生的作业，比较说理。

（3）尝试计算并汇报：你是先算什么的？为什么要先算2×4？可以先算4+1吗？

（4）根据数据图画，想一想，还可以怎样列式？

生汇报：1+2×4、3×4-3、2×5-1、……

“先乘除后加减”是数学运算中的一项规定，似乎是一种约定俗成的说法，用图表征思维过程使思维的方法与过程得到外显。在这里，教学从学生原有经验出发，引导学生用图说明2×4+1的两种意义，因为乘法是加法的简便运算，表示求几个相同加数的和，这样学生就能借助图来掌握算法并理解算理：根据2个4（或者4个2）相加先算2×4，然后再加1;如果先算4+1没有意义。此外，在这个过程中，通过图引导学生进行纵向比、横向比、与以前经验比、相似点比，暴露知识形成的思维路径，展现知识建构过程的趣味性和丰富性。

（三）方法运用：让策略模型化

所谓“模型”，是指学习过程中的分析、比较、归纳与概括等心理活动，必须借助于图式表征这个基础，通过图式思维学生经历了以已有的知识经验为基础的构造性活动，而不是一种纯粹的操作行为。例如，在“连乘问题”教学时，在解决“小朋友在跳集体舞，刚好排成3个方阵。每个方阵有2行，每行5人。一共有多少人？”这个问题中，让学生根据下列要求解题并解释：

（1）根据题意画图，1个小朋友用一个“”表示。

（2）列式计算，并在图上把先算的那一步圈出来。

（3）想一想，有没有不同的解决方法？

图5 “连乘问题”图式

引导学生选择自己喜欢的图形符号进行图式表征（图5），为理解数量关系起到了“桥梁”作用，学生的头脑中逐步建构了连乘问题的数学模型。在这里，学生通过图形表征，将有形的文字、图、算式与无形的解题思路有机融合在一起，通过同中求异、异中求同，与以前经验比、相似点比，暴露知识形成的思维路径，展现了知识建构过程的趣味性和丰富性。

图式思维直接关联学生未来的学习与生活，用图意识、用图能力应从小渗透，同时这更应该是学生从小要练就的学习数学的“童子功”。让图式思维成为学生的一种习惯，让学生主动地将图式思维运用到数学以至任何学科的学习之中。相信这是让学生终身受益的学习方式。

（浙江省杭州市富阳区富春第二小学 311400）