有关函数中间值问题教学的思考

【摘要】二、函数中间值问题教学中存在问题的原因分析 有关函数中间值问题是教学的重要内容，但从实际的教学效果来看，学生对这部分内容的学习普遍感到吃力，解决实际问题能力较差。通过教...

摘要：函数中间值问题是微积分教学的重点内容，也是后续课程教学中某些问题的原型。本文分析了教学中存在的问题，并就如何进行函数中间值问题的教学谈了个人的看法。

关键词：介值定理 微分中值定理 积分中值定理

在微积分课程教学中有关函数中间值问题的定理有：介值（零点）定理；微分中值定理（罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理）；积分中值定理。这些是微积分课程中的重要定理，是教学的重点内容。

一、函数中间值问题的地位和作用

介值（零点）定理是闭区间上连续函数具有的性质，其在证明微分中值定理和积分中值定理中都起到了重要作用；微分中值定理是沟通函数与导数的桥梁，是研究函数的重要工具，是应用导数解决实际问题的理论基础，微积分的许多命题和不等式的证明都以它为依据。积分中值定理是定积分的一个重要性质，是证明微积分基本定理的依据。可以讲，学好这些定理，能为进一步学好微积分理论打下坚实的基础。后续课程教学，如变分不等式中的不动点定理和最优化理论中的很多问题都以中间值定理为原型。

二、函数中间值问题教学中存在问题的原因分析

有关函数中间值问题是教学的重要内容，但从实际的教学效果来看，学生对这部分内容的学习普遍感到吃力，解决实际问题能力较差。通过教学实践，本人认为主要有以下几个方面的原因。

一是忽视了对数学思想方法的教与学。中间值定理中蕴含了丰富的数学思想方法，在有关证明题中需要依靠定理所体现数学思想方法去解决问题。方面，部分教师在教学前没有仔细研究定理产生的历史背景，本身对定理所体现的数学思想方法理解不够，教学中没有很好地进行思想方法的系统传授。另一方面，学生接受新的思想方法能力不够，虽然在直观上对有关中间值定理的几何意义和代数意义能够理解，但对定理的发现和证明过程则比较陌生，而定理的发现过程和证明中恰恰蕴含了数学分析问题、解决问题的思想和方法。如中值定理证明中需要构造辅助函数，体现了数学中的建构思想。在实际应用中，学生一遇到需构造辅助函数进行证明时，往往感到很迷茫，根本原因就是学生对数学思想方法中的建构思想没有理解到位，不能应用于实际问题。

二是不重视基本定理的教与学。微积分的教学主要分三大块：基本概念，基本定理，基本方法。一方面，由于定理本身抽象性较高，学生很难去理解，教学中部分老师认为花大量时间去讲，讲得再好，也没有几个人懂，只会是：“教师讲得满头大汗，学生听得云里雾里”。这样不仅浪费了大量的教学时间，还可能使学生丧失学习的兴趣和动力，因此在实际教学中存在教师忽视中间值定理教学，把主要精力用于基本计算教学的情况。另一方面，学生在课堂上不重视对基本定理的学习，造成对定理的理解不够，掌握不牢。在实际应用中忽视定理成立的条件，随意扩大定理的使用范围，造成乱套、乱用定理的现象。如零点定理表示闭区间上连续函数在开区间有根，微分中值定理则表示导函数在开区间有根，积分中值定理表示函数在闭区间有根。很多学生在用这些定理时，不顾实际条件，随意选择方法，造成错误。

三是缺乏应用定理解决实际问题的能力。学生对数学思想方法的理解和掌握需要一个不断实践的过程，也需要学生对有关中间值定理的应用实践做系统的归纳和总结。但在实际中，很多学生不知道学过哪些有关中间值的知识点，更别说在实际应用中去分析，取舍，选择合适的定理和方法。一遇到实际问题，只是片面思考方法，而没有系统概括与题目本身有关的知识点，对可行的方法进行归纳，然后进行取舍。

三、有关函数中间值问题的教学对策

（一）融入数学史教学，注重数学思想方法的传授

高等数学的精髓在于解决问题的数学思想方法。教师的教学过程不仅仅是传授纯粹知识与技能的过程，更是一个传授思想方法的过程。我们要让学生在学习数学知识的过程中了解其背后的精神、思想和方法。古人说：“授人以鱼，不如授之以渔。”这句话道出了思想方法学习的重要性。将数学史带进课堂教学既能培养学生的数学兴趣，又能提高对数学的理解力，掌握数学的思想方法。

首先，教师要加强对数学史和数学方法论的学习与研究，不断提高自身的素质。其次，在教学过程中，教师应通过设计启发性教学方式，揭示问题的实质及其发现、产生和发展的来龙去脉，充分调动学生的学习兴趣和积极性，让学生能够系统的、透彻深刻理解问题本身蕴含的数学思想方法。最后，学生要掌握数学思想方法，必须有一个反复认识、训练和运用过程，教师要通过一些具体实例，带领学生一起从未知的角度去认识、分析，提炼，找出解题的方法，从而加强学生对数学思想的理解，方法的掌握。

可以试着在微分中值定理的教学中，从介绍微分中值定理产生的历史背景引入，然后和学生一起从未知的角度去探索定理具备的条件和证明过程。像罗尔定理来源于17世纪最值问题的研究，定理成立的条件缺一不可，而定理的证明给我们提供了求极值、最值问题的思想方法；同时，从拉格朗日中值定理的证明过程中我们学到了建构函数的思想方法。这样可以消除学生对抽象问题教学的厌学情绪，激发学生的好奇心和求知欲，使学生对教学过程不再感到枯燥，又能加深学生对知识的理解，促进学生对定理的思考，让学生不仅知其然，而且知其所以然。针对建构函数思想学生比较难掌握的实际，我们要有针对性的多练习，与学生一起仔细分析，归纳，帮助学生提炼出需构造的函数，提高学生学习、探索的兴趣，逐步的培养数学思想方法。

（二）注重定理的理解，强化学生的条件意识

学生在解题中普遍存在不顾定理成立条件，而乱套、乱用定理结果的现状，主要是由于学生对定理的理解不够，条件意识淡薄。数学是一门精确性很强的学科，所谓“失之毫厘，谬以千里”。因此，在教学中教师要注重学生对定理的理解方面的教学，培养学生的条件意识，尤其对定理，公式成立的条件，要讲清楚，讲到位。在中间值问题的教学中，定理本身给出的条件并不复杂，教师可以通过正反举例、数形结合的形式来强化学生的条件意识。如介值定理成立的条件是：函数在闭区间上连续。为了培养学生的条件意识，教师可以与学生探讨函数不连续的情况，并从几何上形象直观的给出函数不连续定理不成立的情形；在讲罗尔定理成立的三个条件——闭区间连续、开区间可导、端点值相等时，也和学生探讨缺少任何一个条件定理是否成立，并在几何上给出缺少条件定理不成立的情形。这样能促进改革学生积极主动思考，真正融入定理教学，加深学生对定理条件的理解，强化记忆。当遇到实际问题时，就自然会考虑到定理成立的条件，而不至于乱用定理。

（三）强化应用，培养学生利用数学思想方法解决实际问题

学生对数学思想方法的理解和掌握需要教师在实际应用的教学中逐步培养。首先应带领学生对所学知识点进行及时地归纳、小结，并与以前所学相对应知识进行系统整理。这样有利于学生理解，记忆，融会贯通所学知识，并建立新的认知结构。其次可通过具体的实例来进行思想方法的锻炼，培养学生用数学思想分析和解决问题的能力。

在有关中间值问题的教学中，其知识点是比较分散的，这就需要教师带领学生去归纳，总结，帮助学生找到解决有关中间值问题的可能方法。在讲到中间值问题时，要引导学生回顾已学有关中间值问题的知识点，并和已学的知识点进行综合比较、分析，帮学生总结出各知识点的特点、适用范围和要求，以便学生在遇到问题时能根据现实条件进行取舍，选出正确合理的方法。如在讲到微分中值定理时，在代数上定理可表示方程有根，这时教师要带领学生回顾介值（零点）定理，它在代数上也表示方程有根，然后比较、分析这些定理成立条件和结论的异同，适用的范围。在讲到积分中值定理时也要再回顾介值定理和微分中值定理，并进行比较、分析。这样不但可以帮助学生回顾已学的知识、加深印象，又能帮学生总结出处理有关中间值问题的方法。如在证明函数恒等式、证明函数不等式、讨论函数的零点等问题时学生会想到中间值定理，而处理有关中间值问题的定理有介值（零点）定理、微分中值定理和积分中值定理。这时学生就可再根据实际条件，选择合适的定理与方法，得出最终的结果。