中考复习中的“将军饮马”问题

【摘要】本文通过引导学生建立轴对称模型解决复杂的几何问题、函数问题以及将基础的“将军饮马”问题进行拓展变式教学，给广大数学教育工作者中考备考工作提出一些建议。

【关键词】“将军饮马” 轴对称思想

中考备考

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2016）12A-0126-02

通过轴对称思想建立模型解决数学中的最短路径问题，是近几年中考中常出现且大多以压轴题的形式出现的考查点。由于中学生数学建模能力不强，许多学生认为解决最短路径问题比较困难，无从下手。笔者通过运用“将军饮马”问题中的轴对称思想在一些复杂图形中建立轴对称模型，解决求线段和、三角形周长等一类最小值问题以及函数动点中的最小值问题，给数学教育工作者中考备考提出一些建议。

一、引导学生找准模型，厘清问题本质

“将军饮马”问题是初中数学教学的重点内容之一，其根本就是轴对称思想的应用。笔者认为，学生之所以觉得“将军饮马”问题比较难解决，其原因之一就是学生对解决这一类的最短路径问题的实质――建立轴对称模型的认识不到位，对轴对称思想的应用不够熟练。教师可以引导学生在面对练习题时，找准解决练习题的模型――轴对称模型，厘清这一类习题的本质――轴对称模型的建立问题，有利于学生更好地理解和应用轴对称思想，锻炼学生归类知识的能力，提高复习效率。

笔者在中考复习课上给学生展示过这样一道例题：如图1，已知正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值为多少？学生在第一眼看到这个例题的时候，能准确判断出这是一道求最短路径的问题，但是他们没能马上给出解答此题的思路。笔者提示学生将边缘的正方形去掉，如图2，学生恍然大悟，这就是“将军饮马”问题。学生很快便可以通过寻找对称点、“两点间线段最短”得出答案。

笔者趁热打铁，给学生展示了另一道例题，已知，如图3，[AB]是O的直径，AB=8，点M在O上，[∠MAB=20°]，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点.若MN=1，则PMN周长的最小值是多少？学生有了解答上一例题的体验之后，很自然地想到了将图形简化，如图4，再通过建立轴对称模型解决该题。最后，笔者引导学生对这两个例题进行评价，学生在经过了对比、思考、讨论之后发现，这一类含有定直线、定点以及动点的问题其实本质上就是“将军饮马”问题的拓展，只要透过题目本身，找准模型，确定“三点一线”：动点、定点、对称点以及定直线，弄清楚图形怎么对称、作哪一个点的对称点、对称过后的点和谁连接、怎么确定所求点，问题也就迎刃而解了。

二、数形结合，将代数问题转化为几何问题

初中数学主要分为“数与代数”“图形与几何”“概率与统计”三部分，将各个部分知识融合解决一些综合性问题一直是我们追求的数学学习目标。将代数问题转化为几何问题，利用图形的几何量确定最值的方法是初中阶段解决函数问题的重要思想方法之一，也是可以将函数问题化繁为简的重要手段之一。运用轴对称思想建立“将军饮马”问题的模型，不仅能解决几何问题，还可以和函数结合，解决代数问题，这其中蕴含了丰富的“数与形”相互转化的数学思想，极大地提高了学生的空间想象能力和问题解决能力。

为此，笔者选取2015年成都市的一道数学中考题作为例题进行讲解，意在让学生在不同的情况下更熟练地构造模型：如图5，一次函数y=-x+4的图象与反比例函数y=[kx]（[k]为常数，且[k≠0]）的图象交于A（1，a），B两点.

（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；

（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及PAB的面积.

学生马上解出反比例函数表达式为y=[3x]和B点坐标（3，1）；有了之前两道题的经验，学生可以很快确定题中的定直线为x轴，定点分别为A、B，利用点关于x轴对称的坐标变换规律，求出点B关于x轴的对称点D的坐标，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，模型建立成功。完成解题之后，笔者还引导学生进行反思，学生自己动手在一次函数、二次函数的图形中找点并作其关于坐标轴的对称点，求出对称点的坐标。该课堂环节有效地实现了“将军饮马”问题在代数领域中的应用，体现了函数中“数”与“形”思想的结合，学生学习积极性极大提高。

三、变式教学，拓展“将军饮马”问题

知识拓展，举一反三是数学学习最终要达到的目的，在初中阶段主要涉及的几何图形有点、线、角、三角形、四边形、圆和简单的立体图形等，其中，轴对称图形特别受到中考命题者的青睐，如线段、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、圆等，这些轴对称图形都可以结合“将军饮马”问题的数学模型设计问题。“将军饮马”问题的模型不光可以解决“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题，还可以拓展到解决“求两定直线上各一动点与直线外两定点的距离的和的最小值”题。掌握问题模型的本质，将模型巧妙变化以寻求解决问题的新途径是检验学生数学学习能力的标准之一，可以培养学生不断探索和勇于创新的精神。

笔者从人教版八年级数学上册一道练习题入手：如图6，牧马人从A地出发，先到草坪地边某一处牧马，然后到河边饮马，最后回到B处，请画出牧马人走过的最短路径。

先作点A关于线段MN的对称点G，作点B关于直线l的对称点H，画出牧马人可能的路径如图7所示。可用三角形的相关知识证明线段AI+IL+LB=GH是满足要求的最短线段。此题将原来作一次轴对称变换的问题转化为作两次轴对称变换的双对称问题。此种轴对称中双对称的作图方式较少见，因此教师在中考复习中应该加强训练。为此，笔者引用2015年遵义市的一道中考题，对“两动点，双对称”的“将军饮马”问题的拓展作进一步说明：

如图8，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的点，当AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）。

A.50° B.60° C.70° D.80°

学生一开始很难判断E、F的位置应该在哪里，笔者引导学生分析出这里的两定直线是BC和CD，定点是A，两动点是E、F，要使AEF的周长最小，可利用点的对称，将三角形的三边转化到同一直线上：分别作点A关于BC和CD的对称点A′、A″，连接A′、A″，与BC、CD交于点E、F，模型很快可以建立，如图9。

“两动点，双对称”模型的应用还可以从“三角形周长最小”的证明推广到解决“一边为定值的四边形周长最小”问题，借助上题的经验，笔者举出如下例题，旨在让学生学会在平面直角坐标系中利用上述模型解决四边形周长的最小值问题：如图10，在直角坐标系中，有四点A（-8，3），B（-4，5），C（0，N），D（M，0），当四边形ABCD周长最短时，求[mn]的值。

学生应很容易发现AB边的长度已经是定值，只需要求出AD+BC+DC的最小值即可，问题便自然而然转化为求三角形周长的最小值问题。定直线是x轴和y轴，定点是A、B，作点A（-8，3）关于x轴的对称点A′（-8，-3），作点B（-4，5）关于y轴的对称cB′（4，5），此问题就可求出最后结果了。

在中考复习教学中，教师要让学生灵活运用轴对称思想解决最短路径问题，也就是要引导学生通过观察、分析，抽象出“将军饮马”问题及其拓展的问题模型，明确定点、定直线，明确作哪个定点的对称点，为进一步求出动点做好准备。同时要加强练习，强化学生对这一问题的理解和运用。

数学教学实质是问题教育，离不开解题。学生需要在形成初步知识、技能后及时巩固、深化已获知识。那什么样的问题既可帮助学生深化理解、认识问题本质，又能避免“题海”战术呢？“变式教学”是很好的载体，它符合素质教育大背景下“优质轻负”的时代要求，既让学生理解数学知识、数学思想与数学方法，又能培养学生举一反三、灵活应用、独立思考等能力，也培养了学生的发散性思维和创新能力，能有效减轻学生的学习负担，提高学生的数学素养，是一个极富现实意义和迫切性的课题，值得研究。从本文的解法归纳中可以看出，即使是比较复杂的问题，所用到的知识也是简单的基础问题，这就要求教师在中考备考的教学中，不仅要从不同角度去分析问题，还原知识的发生、发展及形成的过程，教给学生解题的方法，而且要与学生共同探究基本问题与解题的联系，使学生能够说出“为什么这样想”“用到哪些知识”等，增强学生在中考时解答综合题的信心，并提高解答综合题的成功率。

（责编 刘小瑗）