协同思维与数学教学

摘 要：在数学教学中，我们不能再片面强调某一种思维的单项训练，而忽视各种思维有机结合的整体功能。这也就是说，通过教学，使学生既善于整理思维又善于发现思维，既善于形象思维又善于抽象思维，并让这些思维彼此联合和协同作用，促使学生的大脑两半球得到充分、全面与和谐的发展，成为思维协同的现代人。

关键词：协同 思维 数学 教学

1971年德国科学家哈肯提出了统一的系统协同学思想，认为自然界和人类社会的各种事物普遍存在有序、无序的现象，在一定的条件下，有序和无序之间会相互转化，无序就是混沌，有序就是协同，这是一个普遍规律。什么是协同思维？ 考虑事物的相生或相辅相成，或相得益彰，或交互作用，或协同并存，这是事物协同，这样的思维就称为协同思维。协同思维和思维协同是同一思维的两面，人们培养和提高了协同思维能力，就能思维协同。数学教学中的思维研究越来越受到人们的重视，这是国际数学教育的发展趋势。在教学中，根据学生的学情，对数学思维的各个要素的本质及其联系进行研究，强调各种思维的协调和同步作用，加强协同思维的训练，其意义是不可低估的。

一、整理性思维和发现性思维相互作用的理论是协同思维的产物

在中学数学的教学中，大量地需要整理性思维，同时也需要发现性思维，在许多情况下，两者是互相渗透、互为作用的。整理性思维以演绎论证为主，发现性思维以直觉、猜想、归纳、类比为主，数学教育不能光强调单项训练，或偏重于某一方面，更重要的是它们的有机结合和协同互补。对此，很多数学家和数学教育家都有过论述。斯托利亚尔指出：“如果我们想在数学教学中在某种程度上反映出数学的创造过程，就必须不仅教学生证明，而且教学生猜测。”波利亚也十分强调在数学教学中必须既教证明又教猜想，既教论证推理又教合情推理，他在《数学与猜想》一书的序言中指出：“论证推理和合情推理在我看来它们互相之间并不矛盾，相反地，它们是互相补充的。”徐利治教授提出的在数学教学改革中贯彻“归纳与演绎交互为用”的原则也体现了这种思想。下面就以此为例作些详细的说明。

事实上，我们在数学教学过程中，以至在思维发展过程中，总是既用归纳又用演绎，尽管两者有各自不同的特点，但演绎推理的大前提——表示一般原理的全称判断，要靠归纳推理提供出来；为了提高归纳推理的可靠性，无论以一般原理作指导或者对归纳推理的前提进行分析，都要用演绎推理。归纳与演绎在思维运行过程中的这种辩证统一正体现了两者之间是协同互补的。以演绎推理中的三段论为例（中学数学教材中出现的多是第一格的结构），可以得到证明。

M—P（大前提：集合M的所有元素具有或不具有性质P），

S—M（小前提：集合S？奂M），

S—P （结论：集合S的所有元素具有或不具有性质P）。

例 奇函数的图像关于原点成中心对称图形，

正弦函数y=sinx（x？缀R）是奇函数，

正弦曲线关于原点成中心对称图形。

这个演绎推理的大前提“奇函数的图像关于原点成中心对称图形”可由归纳推理提供，在这个归纳推理中，每一个前提可由演绎推理来论证。

“归纳和演绎，正如分析和综合一样，是必然相互联系着的，不应当牺牲一个而把另一个捧到天上去，应当把每一个都用到该用的地方，而要做到这一点，就只有注意它们的相互联系、它们的相互补充。”（《马克思恩格斯选集》第三卷P548）正确地认识和处理好归纳和演绎的关系，在教学中贯彻“归纳与演绎交互为用”的原则体现了思维的协同性。

我们再从在校青少年归纳推理和演绎推理发展的相关来看（根据朱智贤、林崇德的研究，相关系数r=0.56359），中学生掌握这两种推理的水平虽有差异，但其发展趋势是一致的。所以贯彻“归纳与演绎交互为用”的原则也符合青少年思维发展的规律。

根据前面的论述，对于整理性思维与发现性思维交互为用的更一般的思想，我们就有了更清楚的认识。

二、在数学教学中贯彻形式逻辑思维与辩证逻辑思维并重和统一的原则展现了思维的协同性

中学生的辩证逻辑思维的发展是与他们的形式逻辑思维的发展相辅相成的，这两种思维是一个人抽象思维整体的两个不可分割的部分，是互相促进、协同互补的，在发展学生形式逻辑思维的同时发展他们的辩证逻辑思维，可以使青少年的思维发展更加完整、更具有整体性，所以我认为新课标中的“逻辑思维能力”必须理解为包括形式逻辑思维与辩证逻辑思维在内的两种思维能力。

在以往的教学中，对于加强形式逻辑思维方面的训练我们已经有了充分的认识，有关数学教育的刊物及著作也论述得比较多，这显然是必要的，而且应当是主要的。但是对于数学思维所具有的辩证法特征却研究甚少，基本上是用静止和孤立的观点学习和研究数学问题，直就是直，曲就是曲，有限和无限除了对立就不存在相互转化的那种联系了。事实上，在中学数学中充满了辩证法，如概念和关系的变动性、两重性、矛盾性、同一性、相互联系和相互制约性，“数” 和“形”的对立统一，代数、几何、三角各学科之间的联系和转化，有理数运算中的性质符号和运算符号既是不同的又是可以统一的，在二元二次方程

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 （*）

的讨论中，一个方程就包罗了点、相交线、平行线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等各种方程，它们不过是方程（*）中各个系数取某些数值时的一种特殊状态而已，均统一在一个方程中；数学方法中的归纳与演绎、分析与综合、特殊与一般等，总之，从数学内容到数学方法到处充满了辩证法思想。

由于在中学数学中大量存在着相对稳定的状态，所以我们能用形式逻辑思维的方法进行分析和研究。但也存在着显著的变动状态（如前所述），故我们能用辩证逻辑思维的方法认识数学中概念和关系的变动性。例如，按照形式逻辑思维规律，对于每一个数学概念的认识要前后一致（同一律）而且不容许存在不相容的认识（矛盾律，如果存在两个互相排斥的认识，那么其中必有一真一假（排中律），概念教学必须遵循上述逻辑规则进行，但同时也应指出，用运动的和联系的辩证观点来思考，数学概念也是随着学生学习的数学知识结构的发展而发展的。许多对立的概念可以统一起来（比如实数和虚数同处于复数中，—元二次方程和一元二次不等式同处于二次函数中等）；一个概念在不同的场合或者不同的条件下可能有不同的认识（比如幂的概念，最初学习的是正整数指数幂，被理解为几个相同因素相乘的结果，以后发展到零指数幂——两个不等于零的相同的数相除所得的商等于1；正分数指数幂——正实数的若干次方根；负数指数幂——正数指数幂的倒数）；很多概念也反映了事物的运动是相互联系相互影响的这一规律（如函数概念中的x和f（x），x的值对应着一个或几个f（x）的值，x变f（x）就变，f（x）的变化依赖于x的变化而变此）。显然，这些思维方式已经不是孤立地、静止地看待各个数学概念了，这是辩证逻辑思维在中学数学中的生动体现，与形式逻辑思维相比更高一级。因此，在中学数学教学中，必须既重视形式逻辑思维的训练又重视辩证逻辑思维的训练，让两种思维在学生的数学学习中协同作用、相互补充，从而发展学生完整的数学思维能力。

三、 重视形象思维和抽象思维的结合是思维协同的表现

我们把人的思维分为三种，即形象思维、抽象思维和灵感思维，并且认为，每一个人的思维活动，往往是两种甚至三种先后交错在一起作用。事实上，脑科学的研究成果也表明，人的大脑左右两半球，既分工又协同活动，虽然左半球的功能主要在于抽象思维，右半球的功能主要在于形象思维，但任何一个思维产物都是左右脑密切配合协同活动的结果，每一个人的思维过程明显地存在着逻辑思维与非逻辑思维的互补运动。长期以来，人们总是认为左半球是大脑中占支配、统治地位的优势半球，而右半球则被认为是缺乏高级认识功能、处于从属地位的劣势半球，没有认识到大脑左右两半球的和谐发展和协同活动是思维发展的物质基础，加上数学本身的抽象性、严谨性，因而在学校的数学教学中“重左轻右”的现象就比较普遍，即只重视抽象逻辑思维（尤其是形式逻辑思维）的训练，而忽视数学教学中的形象思维的研究。例如，研究位置关系时，忽视其数量关系，记忆各种数量关系的结论时，不会求助于“形” ，离开图像死记硬背各种函数的性质。实际上这是数学教学中的思维非协同现象，说严重一点是忽视了半个大脑的作用，因此，我认为数学思维研究不仅要深入探讨抽象思维中的问题，更迫切地是要在形象思维方面打开缺口，开创新路子。同时我更主张，把形象思维和两种抽象思维有机地结合起来，使学生的数学思维能力和谐发展、协同并进。为此，我提三点教学建议：

1.在数和形的对立或差异中看到和谐与统一。在数学教材中，从数和形两个方面描述概念或课题的例子很多，如实数的顺序性和数轴上点的位置，复数a+bi及各种运算与复平面上的向量的相应变化，各种函数与它们的图像，解析几何中各类方程与其所对应的各类曲线，等等。在教学中由数思形、由形想数，不失时机地抓住两者的相互结合和转化，冲破数和形之间那种固有的差异，更多地强调二者的和谐统一。

2.在形象思维和抽象思维达到某种临界质量时，促使“自行突变”适时、有效地发生。所谓“自行突变”是指灵感发生时的那种非逻辑质变状态，它标志着灵感的蕴育成熟，刹那间就要光临。这种“自行突变”的发生就是灵感（顿悟）思维的结果，也可以认为是形象思维和抽象思维融为一体、协同作用的产物。尽管灵感是一个没有解开的谜，但它的存在是可信无疑的了，从大量的有关资料表明，无论是社会科学家，还是自然科学家，他们在创造过程中的许多新思想、新观念的涌现，新思路的产生，新形象的形成，都与灵感密切相关，如阿基米德的顿悟，笛卡儿建立坐标系的灵感都是很好的例证。如何促使“自行突变”的尽快发生和灵感的及早到来呢？有效的办法就是创设问题情境，运用显意识去调动潜意识，使形象思维和抽象思维协同作用于研究对象，以达到一触即发的境界。

3.在数学美的感受与鉴赏中，发展直觉洞察力。青少年的思维发展，虽然以抽象思维占优势地位，但情感和形象材料的支持仍然起着很重要的作用，而美的特点就在于情感的形象，在于情景交融的形象，又由于数学中的美确是大量存在的，所以在数学中进行数学审美教育，让学生感受美、鉴赏美，既是数学教育任务的充实，又易为中学生所接受。特别是，教学实践已经证明，每当认识主体的这种美感鉴赏力发挥作用时，也常常是思维力、想象力活跃的时刻，同时也往往是导致直觉产生的前奏。由此可见，美感鉴赏力和直觉洞察力，数学美感和数学思维是密切相关的。因此，让学生获得对数学美的鉴赏力，对于激发学生的对数学的兴趣，增长直觉能力，开发右脑功能，发展创造思维都会有深远的影响，从而使形象思维和抽象思维协同作用和有机结合就不会成为一句空话。（作者单位：江西教育期刊社）