高中数列求和的有效方法初探

【摘要】 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础.生活中具有较大的应用价值.数列求和是数列的重要组成部分.通过对数列求和知识的学习，不但可以提高学生的分析、归纳能力和逻辑推理能力，还能很好地锻炼发散性思维.

【关键词】 高中；数列；求和；有效方法

数列求和在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.除了等差数列和等比数列可以直接用公式求和外，大部分数列的求和都需要一定的技巧，体现转化思想的灵活运用.教师要引导学生掌握方法，形成规律性的认识，从而掌握通性通法，构建知识框架，提高学习能力.学生通过对数列知识的探究和归纳理解其中蕴含的思想和方法，更好地应用函数思想、方程思想，并且灵活地理解基本概念和公式，在应用中能够达到得心应手、举一反三的程度.通过对方法的探究，学生会发现问题，有针对性地分析和思考问题，进而解决问题，达到对知识的掌握.下面介绍四种数列求和的基本方法和技巧.

一、公式求和法，掌握基本求和方法

公式求和法是解决数列求和最为基本的方法，是其他求和方法的基础.在进行数列求和的教学过程中，首先，教师需要给学生介绍的就是公式求和法.让学生能运用等差数列或等比数列的前n项和公式求和，教师还要引导学生通过自主探究推导公式，通过合作交流深刻理解公式，从而可以在运用中游刃有余.公式法是一种非常直观的方法，学生只需要把公式掌握好，在题目中找到相应的量进行套用即可，是一种简单易行的方法.

典例赏析 已知等比数列{an}的所有项均为正数，首项a1=1，且a4，3a3，a5成等差数列.求数列{an}的前n项和Sn.

分析 由数列{an}是等比数列可得a4=q3，a3=q2，a5=q4，根据a4，3a3，a5成等差数列可以求出q，再根据等比数列的前n项和公式即可求解.

解 设数列{an}的公比为q，

由条件可知a4，3a3，a5成等差数列，6q2=q3+q4.

解得q=-3或q=2，

q>0，q=2，Sn= 1-2n 1-2 =2n-1.

在审题的过程中，学生要准确把握首项、末项、公差、公比、第n项和前n项和等信息，还要注意是等差数列还是等比数列，这样才可以灵活地通过已知的信息最终求出首项和公差（或公比），从而完成公式求和的解题过程.

二、分组求和法，分别解答各个击破

分组求和法是解决数列求和的常用方法.此类题型的显著特点是：一个数列的通项公式是由若干个等差数列和等比数列组成，则求和时可以用分组求和法，把具有相同性质的数列分别求和后相加减.这种方法使学生可以通过各个击破的方式来解决问题，降低解题难度，从而逐步有效地解决问题.

典例赏析 已知数列{an}的通项公式an=n+1，若bn=2 an+ 1 2an ，求数列{bn}的前n项和Sn.

分析 根据已知条件先求得数列{bn}的通项公式bn=2 an+ 1 2an =2 n+1+ 1 2n+1 =2n+ 1 2n +2，通过观察发现，此数列可分为三个数列{2n}， 1 2n ，{2}，因此，可以采用先分别求出这三个满足条件的和，再合并即可解决.

在解题的过程中，要学会找到具有共性的各个数列，进而根据每一个数列来一一进行计算，实现对问题的解决.分组转化法求和的常见类型有两类：（1）若an=bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，求{an}的前n项和；（2）通项公式为an= bn，n∈奇数，cn，n∈偶数 的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.

三、错位相减法，灵活应用解决问题

错位相减法是解决数列求和的一种重要方法.必须熟练掌握，高中教材中等比数列的前n和公式推导用的就是这种方法.它主要适用于一个数列的每一项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，在解决这类数列求和问题的时候就可以用错位相减法.即数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an・bn}的前n项和，就采用错位相减法，这种方法的关键是错位后找到对应项，然后，进行求和处理即可.

学生在解题时通过认真阅读，仔细思考，可以看出此题在求和时适合采用的方法就是错位相减法.解决这类问题时，学生需要注意前n项和两边同时乘等比数列{bn}的公比，然后，“错位”作差求解.利用错位相减法求和还要注意，首先，要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；其次，在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.

四、裂项相消法，分析归纳总结规律

裂项相消法是解决数列求和的一种行之有效的方法.在求和过程中，学生需要把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，在消去了一些不必要的项后，简化了计算，从而可以快速求和.使用裂项相消法求和时，一定要注意消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，需要注意未被消去的项有前后对称的特点.

典例p析 已知数列{an}的通项公式an=2-n.数列{bn}满足bn= 1 a2n-1・a2n+1 ，求{bn}的前n项和Tn.

通过对题目的阅读和思考，学生要有一定的判断能力，能够看出这一类题是否适合采用裂项相消法求和.把数列的每一项分裂成两项，使得相加后项与项之间能够抵消，但在抵消的过程中，有的是依次相消，有的是间隔相消.利用裂项相消法要注意，列项相消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.如，若{an}是等差数列，则 1 anan+1 = 1 d 1 an - 1 an+1 ， 1 anan+2 = 1 2d 1 an - 1 an+2 .

上面介绍了几种数列求和的常用方法，其实，数列求和的方法还有很多，如倒序相加法、递推转化法、并项求和法、数学归纳法等.数列求和问题题型多样，技巧性也较强，以致数列求和问题成为高中数学的一个难点，在各级各类考试中都会涉及对数列求和的考察，因此，在平时的学习中要善于总结规律.

总之，在数列求和的学习过程中，教师要引导学生找到数列求和的突破口，掌握好基本题型和解题的基本思想方法，进而在解题过程中可以灵活运用这些解题方法.学生掌握了数列求和的基本方法后还要不断地实践，通过强化训练来巩固，最终的达到快速、灵活、轻松解决数列求和.通过数列求和知识的学习与运用，学生的逻辑思维和推理判断能力会进一步得到提高，为学生提供了一个更加广阔的数学学习空间.