高等代数学习方法探析

摘 要： 由于高等代数概念多，具有高度的抽象性，学生在学习过程中往往不知所措，从而心生畏惧，甚至放弃该课程的学习.鉴于此，有必要通过研究其课程体系及基本的学习方法，找到切入点和突破口，调动学生的学习积极性.

关键词： 高等代数 学习方法 总结

一、绪论

1.高等代数学习方法探析的背景及意义

高等代数是一门抽象的学科，主要包括两部分内容：多项式理论初步和线性代数基础.多项式和方程一直是代数学发展的主旋律；线性代数则是应用极为广泛的一门学科.因此，它是我们大学数学领域不可或缺的一门基础性学科，但是多数学生对高等代数的学习感到困惑，抽象的概念等常常让学生感到畏惧，甚至觉得高等代数枯燥无味，最终选择放弃.本文以张禾瑞、郝新编的《高等代数》第五版为例，针对以上现象，在“高等代数学习方法”方面作了初步探析，通过化抽象为具体、化繁为简等有效而简单的方法，尽可能让学生全面认识并高效学习高等代数这门学科.

2.高等代数学习方法探析的思路

通过对高等代数教材的研究、分析，同时用实例加以剖析，从而进行归纳、总结，达到引导学生自主思考，积极探索问题的目的.

二、高等代数学习中的“问题”

1.概念抽象

比如向量空间的定义：令F是一个数域（当中的元素称作标量，用小写拉丁字母a，b，c…表示），V是一个非空集合（当中的元素称作向量，用小写希腊字母α，β，γ…），如果下列条件满足，就称V是F上的一个向量空间[1]：

（1）在V中定义了一个加法，V中任意两个向量α，β，有V中一个唯一确定的向量与它们对应，这个向量叫α，β的和，记作α+β；

（2）定义了一个乘法，即aα属于V；

（3）向量的加法和标量与向量的乘法满足八条性质：向量加法中的交换律、结合律、零向量与任意向量的和为任意向量、一个向量与其负向量的和为零向量；标量与向量的乘法中有向量对标量的分配率、标量对向量的分配率、两个标量与向量相乘的结合律、数1与向量相乘还等于向量.

以上这么多内容都是对向量空间的描述，看起来就是定义了一些计算法则，然而，对于初学者来说显得抽象而繁琐，最重要的是，定义中引入的零向量、负向量都不是普通意义上的数0和相反数，这给学生增加了理解概念的难度.

再到后面又判定向量的线性相关性，尤其是向量线性无关的概念：若不存在一组不全为零的数使得与一组向量的线性组合为零，则这组向量线性无关.几乎刚接触这个概念的多数同学都读不懂是什么含义，通常多数同学的理解就是：有一组全为零的数使得与一组向量的线性组合为零，那么就称向量是线性无关的.这就完全曲解了定义.

2.逻辑繁琐

高等代数中数理逻辑很严密，但同时比较繁琐，第一章介绍基本概念不存在什么大问题，从第二章的多项式开始，就在中学内容的基础上加深，多项式的整除、唯一分解性及在各数域上的可约与不可约性，等等；第三章的行列式主要难点就是行列式的计算，规则较多；第四章就是利用克拉默规则研究齐次方程组的解，也是较繁琐，第五章的矩阵是为后面几章打基础，但矩阵的运算也需要掌握很多知识；从第六章开始，就显得抽象、繁琐，对空间向量的介绍到向量的线性关系再到欧氏空间、酉空间和二次型，都涉及矩阵，用矩阵的秩分析线性方程组的解的情况，向量空间的维数，以及空间与空间之间的相互关系，是等价、相似还是合同的关系，等等.总而言之，高等代数这门学科的理论逻辑还是较繁琐的.

3.章节脱节

多数同学在学习了一个章节进入下一个章节后，常常觉得很难适应，通常是学了后面忘了前面.甚至当老师提及到某个概念时完全没有了印象，也不知道前面的章节学了有什么用，总感觉后面的都是新的知识点，与前面没多大联系.比如在五、六章学习了矩阵的秩、空间的基与维数等性质，到第七章讨论本征值和本征向量时有觉得矩阵、空间的基与维数这些都很陌生，感觉很乱，理不清层次和它们之间的关系.

三、高等代数学习方法的归纳与思维转换

针对上述在学习《高等代数》课程中存在的问题，经过对比研究，联系整个代数课程体系，提出以下学习方法，便于进一步理解和掌握《高等代数》的基本内容[2].

1.概念定理理解通透

对于抽象概念的理解：

第一，有实例就用实例帮助理解，比如多项式的定义，课本给的是一个抽象的代数表达式，那么我们就可以从课后习题的具体多项式出发，进一步理解多项式，了解它的特点及计算规则.

第二，用类比的方法，例如高代中的向量的内积就可以类比几何中的向量的数量积，多项式的运算、整除性及公因式可以类比中学的四则运算、整数的整除性及其因式分解等.

第三，可以用几何中的图形帮组理解，比如高代中的线性空间在几何中就是以二维、三维空间为实例模型的；向量的线性关系在几何中就可以表示向量共面与否的问题.又如正定变换总能把一个向量变换为与该向量同侧的向量，即是说这两个向量作内积是大于零[3].

2.加强章节间的联系

首先，对于教材，从目录要大致了解所要学的大体内容；其次，对各章作一个总结，然后找出难点，勾出疑点，最主要的是寻找与前后章节的区别与联系.下面给出了《高等代数》课程体系的整个脉络及学习技巧.

3.化繁为简，化抽象为具体

通常抽象的概念除了图形理解、实例记忆之外，就是要学会在繁多的概念中抽出关键词，简单记忆.比如对向量空间描述可以这样：

（1）前提：一个集合V（非空），一个数域F；

（2）规则：V中向量加法封闭，数与向量乘积封闭；满足八条规则（加法：交换律、结合律、零元、负元.乘法：向量对数的分配、数对向量的分配、数乘结合，1乘不变）；

（3）满足上面两个条件，则称V是F上的向量空间.

这样概括后，概念明显简单许多，便于理解及长久记忆.

四、总结

通过对以上几个方面的探析，学习高等代数可以有多种多样的方法，学习这样的抽象学科，不可能还用中学的题海战术或是死记硬背，一定要学会在学习过程找到简单高效的方法，这门学科也来源于生活，服务于生活，因此要理论联系实际.当然，不可缺少的还有空间想象能力和构思能力.

参考文献：

[1]张禾瑞，郝新.高等代数[M].高等教育出版社，2007.

[2]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第三版）[M].高等教育出版社，2004.

[3]黄益生.高等代数[M].清华大学出版社，2014.

基金项目：遵义师范学院基础教育研究课题（编号13ZYJ 032），贵州省科技厅联合基金项目（黔科合J字LKZS[2014]29号）.