函数的对称性及应用

对称性是和谐的表现形式，对称性充分体现了数学的和谐美，给人以审美的愉悦感。在函数中，函数的对称性是函数的一个基本性质，不仅表现出形式美、结构美，应用到一些数学问题中，更有方法美与思路美。对称性对于简捷地解决某些函数问题至关重要，它可以帮助我们快速找到突破口。

1、函数内部的对称性（自对称）

1.1 关于点对称

函数y=f（x）关于点（a，b）对称？圳f（a+x）+f（a-x）=2b，也可以写成f（x）+f（2a-x）=2b。若写成f（a+x）+f（b-x）=c，则函数f（x）关于点（ ， ）对称。

1.2 关于直线对称

函数y=f（x）关于x=a对称？圳f（a+x）+f（a-x），也可以写成f（x）=f（2a-x）。若写成f（a+x）+f（b-x），则函数f（x）关于直线x= = 对称。

2、函数之间的对称性（互对称）

2.1 关于点对称

y=f（x）与y=g（x）关于点（a，b）对称？圳f（x）+g（2a-x）=2b或f（a+x）+g（a-x）=2b。

2.2 关于直线对称

y=f（a+mx）与y=f（b+mx）（m≠0）关于直线x= 对称。特别地，y=f（x）与y=f（2a-x）关于直线x=a对称。

3、函数对称性应用举例

例1 设二次函数f（x）满足f（x+2）=f（-x+2），且其图像与y轴交于点（0，1），在x轴上截得的线段长为2 ，求f（x）的解析式。

解：f（x）关于x=2对称，可设f（x）=a（x-2）2+b。

由4a+b=1，再由x1-x2=2 ？圯2 =2 ，解得a= ，b=-1。f（x）= （x-2）2-1

例2 设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1+x）=f（1-x），当-1？燮x？燮0时，f（x）=- 则f（8.6）= 。

解：f（x）因是定义在R上的偶函数，所以x=0是f（x）对称轴；

又f（1+x）=f（1-x）所以x=1也是f（x）对称轴。故f（x）是以2为周期的周期函数，所以。

f（8.6）=f（4×2+0.6）=f（0.6）=f（-0.6）=0.3.

注：函数y=f（x）满足f（a+x）=f（a-x）且f（b+x）=f（b-x），

即可推出f（x）=f（2a-x）=f[b+（2a-x-b）=f[b-（2a-x-b）]=f [x+2（b-a）]，即如果函数在定义域内关于垂直于x轴的两条直线对称，则该函数一定是周期函数，且周期为2（b-a）。类似可导出：若有f（x）的2个对称中心（a，0），（b，0）则T=2 a-b；若有f（x）的1个对称轴x=a和1个对称中心（b，0），则T=4 a-b。

例3 函数f（x）= 的反函数的图像关于点（-1，4）成中心对称，求a。

解：因为反函数的图像关于点（-1，4）成中心对称，所以f（x）= 图像的对称中心是（4，-1），而f（x）= 的对称中心是（a+1，-1），所以a+1=4得a=3。

注：对于分式函数y= ，通过分离常数化为y= + ，其图像可看成由函数y= 的图像向左平移 个单位，再向上平移 个单位而得到的双曲线，故它的对称中心也由（0，0）平移到（- ， ）故（- ， ）是y= 的中心对称点。

例4 设函数y=f（x）对一切实数x均满足f（2+x）=f（2-x），且方程f（x）=0恰好有7个不同的根，则这7个不同实根的和为 。

分析与解由f（2+x）=f（2-x），得f（x）关于直线x=2对称。

由于7个根不同且满足对称分布，因此，必须在x=2左右各两个根，且一个根恰在=2处，即7根之和为（2-x1）+（2+x1）+（2-x2）+（2+x2）+（2-x3）+（2+x3）+2=14。

例5 已知函数f（x）=（x+a）3，对任意t∈R总有f（1+t）=-f （1-t），则f （2）= 。

分析与解：由f（1+t）+f （1-t）=0可知函数关于点（1，0）对称，而f（x）=（x+a）3图像可看成由函数f（x）=x3图像向左平移a个单位而得，故对称中心为（-a，0），所以-a=1，即a=-1，故f（2）=（2-1）3=1。

例6 设定义域、值域均为R的函数y= f （x）的反函数为y= f -1（x）。若对一切x∈R， f （x）+ f（1-x）=2都成立，则 f -1（x - 2）+ f -1（4 - x）= 。

分析与解： f （x）+ f（1-x）=2？圳（ ，1）是图像的对称中心，故（1， ）是y= f -1（x）图像的对称中心，由此可知f -1（x）+f -1（2-x）=1，从而可得 f -1（x-2）+ f -1（4 - x）=1。

注：反函数也是函数，不过只是一类特殊的函数，当然应满足函数的对称性的结论，即：（1， ）是y= f -1（x）图像的y= f -1（x）对称中心？圳 f -1（x）+ f -1（2 - x）=1。

例7 已知定义R在上的函数f（x）的图像关于点（- ，0）成中心对称，对任意实数x都有f（x）=- ，且f（-1）=1，f（0）=-2，则f（0）+f（1）+...+f（2014）=

。

解：函数f（x）的图像关于点（- ， 0）成中心对称？圯f（x）+f（- -x）=0，

则f（1）+f（- ）=0。f（x）=- ？圯f（1）=1，且f（x）是以3为周期的函数，

故f（3）=f（0）=-2，f（2）=f（-1）=1。

f（0）+f（1）+...+f（2014）=f（0）+671・[f（1）+f（2）+f（3）]+f（1）=-1。

注：关于周期性，记住如下几个结论是有益处的。

①f（x+a）=f（x+b）？圯T= a-b；

②f（x+a）=-f（x+b）？圯T=2 a-b；

③f（x+a）= 或f（x+a）=- ？圯T=2a；

④f（x+ ）= 或f（x+ ）= ？圯T=2a。

以上几例，正确解题取决于具不具有函数对称的概念及相关知识，有关概念、做法、数值特征是需要花时间理解甚至记忆的，因为这些东西弄明白了，将十分有利于解题。