谈数学问题的形象化

数学理论的表述往往是抽象的，而图形则以其生动、直观的形象展现于人们的面前，以帮助理解、记忆抽象的数学内容。早在1874年，当康托首次提出集合论的时候，许多人感到难以理解，甚至把这一理论形容成“雾中之雾”。然而，英国逻辑学家维恩却建议用简单的图形表示集合，用两个圆的不同位置关系来表示两个集合之间诸如交集、并集、补集等关系。这种形象化的表示，使得深奥的集合理论变得人人感到亲切，就连小学生也不难理解。正因为如此，形象化的思维方式一直受到数学家的偏爱。法国数学家阿达玛通过调查一些著名数学家和科学家发现，他们中很多人不仅回避使用理性的语言，也避免使用代数的或精确的符号……他们使用丰富的想象。

在数学学习中，形象化的能力不仅有助于促进数学知识的理解、记忆和提取，而且有助于提出和解决数学问题。例如，卡尔·邓科尔设计的一道智力题，就是通过直观形象的方式得以解决的。

问题：一天早晨，一位和尚开始爬一座高山，他忽快忽慢地攀登着，不时地停下来休息或吃饭。日落西山，他到达了山顶上的寺庙。几天后，他沿着同一条路踏上归途，仍然日出出发，仍然忽快忽慢地行走。当然，他下山的平均速度比上山要快，证明路途中存在一点，和尚在往返途中都是于白天的同一时刻经过这一点。

如果用代数方法或逻辑推理方法解决这个问题，恐怕很难有进展，最简单的方法是把这一问题形象化：设想有两个和尚在日出时分出发，一个在山脚重现上山的过程，一个在山顶重现下山的过程，那么，不管他们走的速度如何，必然会在某一时刻在某一点相遇。稍微抽象一点的方法是想象两个和尚的位置为两条函数曲线，两条线必然交于一点。把抽象的内容形象化，再通过直观的形象来深化抽象的内容，这种思维方式不仅适用于数学研究，也适用于数学学习。

抽象的数学概念的形成与理解，离不开形象化例证的支撑。例如，对于函数的单调性这个抽象概念的学习，仅凭定义“对于定义域中任意x1，x2，如果x1>x2时，f （x1）>f （x2）”的字面分析，学生很难理解单调性的本质属性。只有将一些特殊函数，如y=3x+2，y=2x，y=（ ）x的图像与定义结合起来，

使学生不仅能从定义的语义上去理解、记忆概念，而且在出现“单调性”概念时，头脑中立刻浮现出这些函数的图像所表示的单调性的形象，从而真正把握单调性的概念。同样，用直观、形象的图形、图示来表示数学公式的证明及相互关系，也有助于对数学公式的理解与记忆。当推导平方和公式时，结合图形将公式的符号表示与图形的直观形象联系起来，纳入记忆系统之中。在列方程解应用题时，我们可以把其中的数量关系形象化，用图示或图表表示出来，便于直观地发现等量关系。

如果说利用函数的图像或代数式的几何意义将问题形象化与数学知识掌握的熟练程度有密切关系的话，那么，构造一个图形或图解描绘出问题的本质关系则是数学问题形象化的直接体现。例如，在一个晚会上，有唱歌、小品、书法、跳舞、朗诵、猜谜6个表演项目。要求每位参赛者只参加两个项目，任意两个比赛项目中，只有一个参赛者是重复的，并且6个比赛项目的参赛人数均相等。根据这些条件，求参赛者的人数。

分析：（如下图）用点表示参赛者，直线表示比赛项目，参赛者A参加某项目p，当且仅当点A在直线上p。于是可将原题转化为形象的图形：有6条直线，任两条直线仅有一个交点，每一点仅在两条直线上，每条直线上的点数相同，求一共有多少个点？

显然，点的个数有C62=15个。所以，参赛者有15人。

由此可以看出用直观形象的方法解决抽象复杂问题的独创性，因此，人们常把复杂的数学问题形象化、直观化视为培养创造能力的基础。其在教学中的重要性是不言而喻的，因而在教学中应使学生养成善于运用直观图形来分析、探索解决问题的思维方法与习惯，进而培养学生解决复杂数学问题的能力。