逆向思维在高等数学中的应用

摘要：在我国现阶段的高等教育工作中，高等数学具有专业性强、理论性强、实际运用能力要求高等特点，因此，要想全面提高高等数学的教学效率和质量，广大教育工作者必须加强对于教学模式和方法的创新，并且不断适应现代高等数学教育的发展需求和时代特征。逆向思维与顺向思维相对立的一个概念，在高等数学中的应用具有积极的意义，不但开发了学生的思维能力，而且拓展了学生的思维空间，本文仅就此作以浅谈。

Abstract: In our current higher education work, higher mathematics has the features of highly professional and theoretical, high practical ability requirement, therefore, in order to comprehensively improve the efficiency and quality of mathematical education, the educators must strengthen teaching model and methods innovation, and constantly adapt to the development needs and characteristics of the times of modern advanced mathematics. Reverse and forward thinking opposed concept has a positive significance in the application of advanced mathematics, which not only develops the students' ability to think but also expands the student's thinking space, now this article discusses this point.

关键词：逆向思维；高等数学；应用

Key words: reverse thinking; higher mathematics; application

中图分类号：G64文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2011）12-0216-01

0 引言

在国内高等数学中，逆向思维得到了广泛的应用，并且受到教育学专家和广大教师、学生的普遍认可和接受。逆向思维是指对于某一概念与原思维相反方向上的思考，逆向思维在高等数学中有着广泛的应用，包括对已有方法的逆向使用、研究一种运算的逆运算、考虑一命题的逆命题等。

1 逆向思维的基本特点

与传统的顺向思维相比，逆向思维作为一种与其相逆的思维形式，其主要特点表现为思维主体，及人类从已有思路的反方向进行相关问题的思考和探索，进而寻求更为理想的解决问题方式和途径。逆向思维的应用，不但有利于人类克服思维定势的保守性、解放思想、开阔思路，而且有利于进一步开拓疑难问题思考的新方向。逆向思维在高等数学方法上主要表现为逆推法，是以待证的结论为出发点，一步步往前分析递推，最终得到问题论证的思路的推理方法，一般用于高等数学证明中。这种推理方法有助于在一堆表面看似错综复杂、毫无联系的已知条件中准确有效地找到问题的突破口。

2 高等数学中应用逆向思维的重要性

高等数学的教学与学习中，学生只有掌握了应用逆向思维的基本要领和方法，才能“攻克”现实中面临的各项数学难题。在高等数学中应用的逆向思维是一种特殊的思维方式，以数和形作为思维的基本对象，运用数学符号与数学语言，通过数学判断与数学推理的形式揭示数学对象的本质和内在联系的认识过程。思维本身具有双向性。一般情况下，在思考高等数学问题时，人们把习惯思维的方向叫做顺向思维，而与它相反的方向探索称为逆向思维。例如在数学发展史上，希腊数学家海帕修就是用反证法发现了无理数，使人们对数的认识从有理数域扩大到实数域。俄国数学家罗巴切夫斯基从前人试证欧几里得第五公设失败中看到直接证明也许是不可能的，大胆引进了与第五公设完全相反的命题，试图间接证明第五公设，最终创造了崭新的非欧几何――罗巴切夫斯基几何。

3 在高等数学基础知识教学中逆向思维的应用

在高等数学的教学活动中，基础知识主要包括：定义、公式、定理等，教师不但要注重培养学生逆向运用意识的能力，而且要引导学生认识到高等数学中许多定义、定理存在可逆性，如积分、定积分定义、级数收数幂级数、函数的导数等等，学生的解题往往是直接应用定义、公式、定理等，而对它们相应的逆向思考则欠缺，要培养学生这种逆向思维的能力，要有针对性地训练，使学生在掌握定义、定理、公式的同时了解它们的可逆性，从而加强知系，进一步掌握，应用高等数学知识。高等数学公式总是双向的，但人们习惯从左到右的运用公式，对逆用公式特别是利用变形的公式很不习惯，其实只有会灵活地运用公式，才能形成解题技巧，提高解题能力。在高等代数问题研究中，除了熟练掌握公式的顺用外，还应学会公式的变形逆用，这样可使问题的运算量减少。

高等数学定理有可逆和不可逆的，教材中有的给出了逆定理，但有许多定理未讨论它的可逆性。在关于定理的教学中，讲了定理后，常常要让学生思考逆命题是否成立，如“收敛数列必有界”的逆命题“有界数列必收敛”不成立，但也要提出来让学生思考，并举出反例说明。例如，两个多项式中只要有一个为零，那么它们的积等于零。则其反面，若两个多项式的积为零，则两个多项式中至少有一个为零。由此易得多项式乘法满足消去律。

4 注重高等数学中知识体系和思想方法的互逆关系

在高等数学中应用逆向思维过程中，一定要注重知识体系和思想方法的互逆关系，并且以此作为指导教学和学习活动的基本原则。以高等数学中的微积分学为例，微积分学的研究对象是函数，主要工具是极限，研究内容主要是微分学与积分学等，各部分知识点与思想方法是和谐统一的，注重它们之间的联系，特别是如导数与积分、局部与整体、有限与无限、常量与变量等一系列互逆关系的教学，无疑对教与学都是非常有益的。如导数和积分就是一种典型的互逆关系，它们构成了微积分知识体系的主体。从计算角度而言。求导数与求定秋分，是一对互逆运算。如在一元情形下，由导数导出逆运算--求原函数或不定积分。而可积函数的味函数积分之问由牛顿一莱布尼兹公式来沟通，这又说明导数和积分是和谐统一的。例如求曲线的长时，采用的方法就是先在小范围内将弧长“以直代曲”，然后将无数段小弧长相加作定积分，把直线段转化为曲线，从而得到曲线的弧长。这就是在局部上“化曲为直”，而在整体上“积直为曲”，这种化整体为局部，再由局部求整体的方法在微积分中是屡见不鲜的。微积分学的主要工具是极限，连续、导数、积分的定义以及级数和广义积分敛散性等基本概念都是通过极限来定义的，可以说极限运算是微积分学中高等数学思想的核心，其将无限转化为有限，从有限中求出无限的思想也体现了无限和有限的辩证关系。

综上所述，在高等数学的教学活动中，广大教师一定要及时更新现行的教育观念和理念，并且充分认识逆向思维在高数教学中应用的重要性，进而全面培养和提高学生的数学素质与能力，更好的适应专业知识的学习。

参考文献：

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