中考数学中的三大思想

一、中考中的函数方程思想、

函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决。

（一）利用函数方程思想解决存在性问题

例1：长方形的长是a，宽是b；周长和面积都是此长方形2倍的长方形是否存在？作出结论，并说明理由.

解：设新长方形的长是A，宽是B，

消去A得：B2-2（a+b）B+2ab=0，

判别式=4（a+b）2-8ab=4（a2+b2）>0

B必然有解（A也必然有解），

这样的长方形是存在的.

评述：所给问题将其给定函数关系视作方程，只要将已知给的变量a、b视作已知，则得到含两个未知量A、B的方程组，此方程组有解，则长方形（所求）存在，此方程组无解，则长方形（所求）不存在.

（二）利用函数方程思想解决统计问题

例2：有一组数据的算术平均值为10，若去掉其中最大的一个，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的一个，余下数据 的算术平均值为11.

（1）求出第一个数关于的表达式及第个数关于的表达式；

（2）若都是正整数，试求第个数的最大值，并举出满足题目要求且取到最大值的一组数据.

解：

依条件得：

由（1）-（2）得：，又由（1）-（3）得：X1=1-n

（2）由于X1是正整数，故 X1=11-n，故Xn+9≤19，当n=10时，X1=1，X10=19，X2+X3+···+X9=80，此时，X2=6，X3=7，X4=9，X6=11，X8=113，X9=14.

评述：利用函数方程思想解决统计问题，要做到：从统计的角度思考与数据信息有关的问题；能通过收集数据、描述数据、分析数据的过程，作出合理的决策，本题“并举出满足题目要求且取到最大值的一组数据”便是这一要求。

二、中考中的化归思想

化归思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想，化归思想其本质就是转化。等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法 这种思想方法就是解决问题过程中往往不是对问题进行直接攻击，而是对问题进行变形转化，直到把它归结为某个已经解决了的或容易解决了的问题。其实数学建模活动中使用的便是一种化归思想方法！我们数学中很多知识中都用到了化归这种思想方法！比如圆周角定理的证明、弦切角定理的证明等中都用到了化归的思想方法！应用转化化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化 常见的转化有 正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、常量与变量的转化、数学语言的转化

（一）正与反的转化

例1：若方程与 中至少有一个方程有实根，求m的取值范围。

解：本题若从正面着手，要分三种情况讨论。如果从反面思考，即两方程都没有实根，则

，且，求得，而m为实

数，故其反面为或，所以当或时，至少有一个方程有实根。

评析：正与反的转化，可类似于反证法，从结论的反面去思考，从而达到事半功倍的效果。

类型二：数与形的转化

例2、如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=8，在AB、AD上各取点Q、P，使PQ=3。求五边形PQBCD面积的最小值.

解：设AP=x，AQ=y，APQ的面积为S，。

PQ=3，，则

去分母，得2St2-9t+2s=0，t为实数，=81-16s2 ≥0，解得。

五边形PQBCD面积的最小值是。

评析：数与形的转化，就是我们常说的数形结合法。

（三）相等与不等的转化

例3：如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠ COA=60°，点P为x轴上的—个动点，点P不与点O、点A重合。连结CP，过点P作PD交AB于点D。

（1）求点B的坐标；（2）当点P运动什么位置时，OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；（3）当点P运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，且

，求这时点P的坐标。

解：（1）作BQx轴于Q。

四边形ABCD是等腰梯形，

∠BAQ=∠COA=60°

在RtΔBQA中，BA=4，

BQ=AB·sin∠BAO=4×sin60°=

AQ=AB·cos∠BAO=4×cos60°=2，

OQ=OA-AQ=7-2=5

点B在第一象限内，

点B的的坐标为（5，）

（2）若ΔOCP为等腰三角形，∠COP=60°，

此时ΔOCP为等边三角形或是顶角为120°的等腰三角形

若ΔOCP为等边三角形，OP=OC=PC=4，且点P在x轴的正半轴上，

点P的坐标为（4，0）

若ΔOCP是顶角为120°的等腰三角形，则点P在x轴的负半轴上，且OP=OC=4

点P的坐标为（-4，0）

点P的坐标为（4，0）或（-4，0）

（3）若∠CPD=∠OAB

∠CPA=∠OCP+∠COP

而∠OAB=∠COP=60°，

∠OCP=∠DPA

此时ΔOCP∽ΔADP

，

AD=AB-BD=4-=

AP=OA-OP=7-OP

得OP=1或6

点P坐标为（1，0）或（6，0）。

评析：数学试题中相等与不等的转化，主要表现在线段的长度与角度的大小等方面。

类型四：整体与局部的转化

例4、已知，求的值。

解：原式

==2008

三、中考中的分类讨论思想

分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决 分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论 ”

要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则

（一）由概念内涵分类

例1：如图1，已知中，，。过点作，且，连接交于点。

（1）求的长；

（2）以点为圆心，为半径作A，试判断与A是否相切，并说明理由；

（3）如图2，过点作，垂足为。以点为圆心，为半径作A；以点为圆心，为半径作C。若和的大小是可变化的，并且在变化过程中保持A和C相切，且使点在A的内部，点在A的外部，求和的变化范围

（1）在中，

。

，。

。

，。

（2）与A相切。

在中，，，

，。

又，，

与A相切。

（3）因为，所以的变化范围为

。

当A与C外切时，，所以的变化范围为；

当A与C内切时，，所以的变化范围为。

评述：第（3）小题涉及圆的位置关系分类讨论，须分内切和外切两种情况加以讨论，解题时注意读题，“相切”概念内涵分类是正确解题的关键。

（二）由实际意义分类

例2：某水果批发市场桔子的价格如下表：

高山清两次共购买桔子50千克（第二次多于第一次），共付出264元，请问高山清第一次、第二次分别购买桔子多少千克？

解：设高山清第一次购买桔子x千克，第二次购买y千克。由题意知：

（1）当

时，可得

解得

（2）当时，可得

，解得（不合题意，舍去）

（3）当时，则，此时用钱为：

（不合题意，舍去）

综上所述，高山清第一次购买桔子14千克，第二次购买36千克。

评述：

在现实生活中存在大量的需分类讨论的情形，本题的设计突现了数学与生活的紧密联系。