分式巧求值,“变换”最给力

在解决与分式相关的代数式计算或求值的问题中，往往需要我们综合运用所学的数学知识进行适当的“变换”，这些“变换”常会给我们带来极大的便利，使得我们可以更加快捷高效地解决这些和分式有关的数学问题。下面我们将结合实际例证，来体验以下最给力的“变换”带给我们的惊喜吧。

一、“分解因式”巧变换

例1：计算并求值。已知

求S的值是多少？

分析与思考：若直接利用通分，则太过繁琐凌乱。将上述分式的分母分别分解因式，于是

思考：若 ，且x2+

5x+4-3√3=0，求W的值是多少？

二、“整体化代入”巧变换

例2：已知 ， 试求P的值。

分析与思考：将已知的条件进行适当变形得，x+y=5xy，①再将所给的代数式变形可得， ，此时我们只需将①代入到P中去即可。 。

思考：若x2-5x+1=0，求 的值是多少？

三、“换元法”巧变换

例3：若 试求M2+

3M+3的值是多少？

分析与思考：若直接通分，则较为繁琐，我们这里可以巧用换元法，设x+y=a，y-z=b，z-x=c，于是，a+b+c=0①，另一方面，我们知道，（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ac）=a3+b3+c3-3abc，将①代入此式所以a3+b3+c3-3abc=0即a3+b3+c3=3abc原式

，到此我们将M的值再代入到M2+3M+3中去求值即可。

思考：若x+y+z=3a（a≠0，x，y，z不全相等），

试求：四、“取倒数法”巧变换

例4：已知

思考：

（上接54页）的值是多少？

五，“综合变换”最给力

例5：已知x+y+z=2，x2+y2+z2=16，xyz=1求

。

分析与思考：因为x+y+z=2，所以x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=4，由此可得， xy+yz+xz=-6，而z=2-x-y，所以 ，同理可得，， 所以

=。

下面，再看一例。

例6：若一列数a1，a2，a3，……an……满足对任意正整数n 都有a1+a2+a3+……an=n3，试求S= 。

分析与思考：我们从更一般的情况考虑，并寻求规律。依题意，a1+a2+a3+……an=n3③a1+a2+a3+……an-1=（n-1）3④，将③-④得an=1+3n2-3n，所以an-1=3n（n-1）又由此得 ，n=2，3，4……，所以

最后，请大家思考并完成：

①若 。

②若

③若