正方体表面展开图规律及应用研究

正方体的表面展开图问题是初中数学教学中的难点，中考题也多次出现，这种题有利于培养学生的空间观念，也有利于培养学生的实践、探索、交流能力。同一个正方体图形按不同的方式展开得到的平面展开图一般是不一样的，常见的正方体展开图究竟有几种不同的形状？有哪些基本特征呢？

将正方体纸盒的六个面分别记为：上、下、左、右、前、后，并剪去上、下两底面后沿侧棱展开为平面图形（图1）

现在只要将刚才剪去的上、下两面分别拼接到图1中可得：

观察以上6个展开图我们发现：

【特征一】 展开图中成“直角”形状的三个面在正方体中有公共顶点，并有两边为公共边，且可绕三个面的公共顶点沿直角方向进行90度旋转。且不改变各面在原正方体中的相对位置。（见后面旋转法）

将图3（或图6）旋转可得图8；将图4（或图7）旋转可得图9；

将图5（或图4）旋转可得图10；将图9（或图5）旋转可得图11；

将图11旋转可得图12。

进一步观察可得：正方体表面展开图共有11种形式（即图2~图12），观察这11种展开图我们发现，有10种图形均有四列，按行的不同可把它们分为以下3类：

（1）一四一型：图2~图7；

（2）二三一（一三二）型：图8~图9；

（3）二二二型：图11。

剩下1种有五列，我们称之为：三三型（两行五列）：图12。

这11种形式之间都是可以相互转化的，而在变形的过程中，6个面之间的相邻关系及相对关系保持不变。为便于记忆我们把它编成口诀如下：

中间四个面，上下各一面； 中间三个面，一二隔河见；

中间两个面，楼梯天天见； 中间没有面，三三成一线。

【特征二】 一个正方体不论如何展开，某一面与它的对面的位置关系无非是如下两种：第一种是两个对面在同一行（或同一列）中间隔着一个正方形。第二种是两个对面不同行也不同列，但中间隔着一列（或一行）。图2~图7很容易确定相对面，而后五种的相对面判断方法有两种：

（一）“目”字法

通过想象和动手操作可以发现，形如图13这样的情况，肯定是面1和面3相对。这样，图8、图9、图10、图12中形如（图13）的相对面也就找到了。

在下列各图中，都应该是面1和面3相对。

（二）旋转法

（14）~（16）中的其他面，以及（11）中的相对面的情况，通过“目”字法解决不了，此时，可采用旋转法。通过动手操作可以发现，形如图18这样的情况，m和n这两条边，本来是正方体的同一条棱，围成正方体之后，它们仍将再重合，因此，将图18通过旋转面A变化成图19的样子，并不改变相对面的情况。因此，图14可以通过旋转面5的方法变成图20，这样既不改变相对面的情况，又比较容易，看出谁和谁相对。由图21通过旋转面4变成图22，则更能体现这种方法的优越性。