分式新题型

随着课改的进一步推进，近年来中考试题中出现了不少新题型.命题者往往给出一些新情境，设置一些新问题，要求同学们充分发挥阅读理解能力、应变能力和创新能力解答试题，全面考查同学们的综合素质，这些试题已成为中考试题中一道亮丽的风景线.本题以与分式有关的创新题为例加以分析，希望对读者有所启发.

一、规律探究型

例1（2007年・杭州市）给定下面一列分式：，-，，，…（其中x ≠ 0）

（1） 把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？

（2） 根据你发现的规律，试写出给定的这列分式中的第7个分式.

解析：（1） 规律是任意一个分式除以前面一个分式恒等于 -.

（2） 第7个分式应该是 .

例2（2007年・邵阳市）观察下列等式：

=1-，=-，=-.

将以上3个等式两边分别相加得

++

=1-+-+-

=1-

=．

（1） 猜想并写出： = ．

（2） 直接写出下列各式的计算结果：

①+++…+=；

②+++…+=．

（3）探究并计算：+++…+.

解析：（1）=-.

（2） ①+++…+=.

②+++…+=.

（3）+++…+

=

-

+

-

+…+

-

=

-

+

-

+…+

-

=

-

=.

评注：这是一个集计算、分析、归纳、猜想于一体的归纳型探索题，此类问题的设置有利于考查创新意识和独立解决问题的能力，有助于引导同学们在平时的学习过程中进行自觉的探索，有助于提高同学们的合情推理能力．

二、错例辨析型

例3（2007年・烟台市）有一道题：先化简，再求值：

+

÷，其中“x=-”．小亮同学做题时把“x=-”错抄成了“x=”，但他的计算结果却是正确的，请你解释这是怎么回事．

解析：原式 ＝ ×（x2-9）

=x2+9.

当x=-或x=时，x2 ＋ 9都是2 016.

评注：本题通过错例让同学们养成解题后反思的习惯，通过反思形成对数学问题的正确认识.

三、开放求值型

例4（2007年・大连市旅顺口区）先化简代数式÷-1，然后选择一个使原式有意义的a、b值代入求值.

解析：÷-1

=・-1

= -

=

= .

当a=1，b=0时，原式 = =0.

评注：本题答案不唯一，主要考查分式的意义、分式的混合运算.在对a、b取值时要考虑到题中分式是否有意义.

四、逆向思考型

例5（2007年・嘉兴市）解答一个问题后，将结论作为条件之一，提出与原问题有关的新问题，我们把它称为原问题的一个“逆向”问题．例如，原问题是“若矩形的两边长分别为3和4，求矩形的周长”，求出周长等于14后，它的一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为14，且一边长为3，求另一边的长”，也可以是“若矩形的周长为14，求矩形面积的最大值”等．

（1） 设A ＝ -，B ＝ ，求A与B的积.

（2） 提出（1）的一个“逆向”问题，并解答这个问题．

解析：（1）A・B=

-

・

=・

=2x+8.

（2）“逆向”问题1：

已知A・B=2x+8，B=，求A．

解：A=（A・B）÷B

=（2x+8）÷

=.

“逆向”问题2：

已知A・B=2x+8，A=-，求B．

解：B=（A・B）÷A

=（2x+8）÷

-

=（2x+8）÷

=2（x+4）・

=．

“逆向”问题3：

已知A・B=2x+8，A+B=x+10，求（A-B）2 ．

解：（A-B）2 =（A+B）2 -4（A・B）

= （x+10）2-4（2x+8）

=x2+12x+68．

评注：本题为开放题，只要是将“A・B=2x+8”作为条件之一的数学问题，都是问题（1）的“逆向”问题． L