分式方程应用题范文

分式方程应用题篇1

例1 甲、乙二人同时从张庄出发,步行15千米到李庄。甲比乙每小时多走1千米,结果比乙早到半小时。二人每小时各走几千米?

分析:(1)题目中已表明此题是行程问题,实质上是速度、路程、时间三者之间的关系隐含在题中的。

(2)题目中所隐含的等量关系是:甲从张庄到李庄的时间比乙从张庄到李庄所用的时间少半小时,即甲运动的时间=乙运动时间-■(或甲运动时间+■=乙运动时间,或乙运动时间-甲运动时间=■)。

(3)如果设乙每小时走x千米,那么甲每小时走(x+1)千米,乙走15千米用■小时,甲走15千米用■小时,此时可列出方程。

解:设乙每小时走x千米,那么甲每小时走(x+1)千米,根据题意,得

■=■-■

去分母,整理,得x2+x-30=0.

解这个方程,得x1=5,x2=-6.

经检验,x1=5,x2=-6都是原方程的根,但速度为负数不合题意,所以只取x=5,这时x+1=6.

答:甲每小时走6千米,乙每小时走5千米。

例2农机厂到距工厂15千米的向阳村检修农机,一部分人骑自行车先走,过了40分钟,其余人乘汽车去,结果他们同时到达,已知汽车的速度是自行车的3倍,求两车的速度。

分析:汽车所用的时间=自行车所用时间-■

解:设自行车的速度为x千米/时,那么汽车的速度是3x千米/时,

根据题意,得

■=■-■

解得:x=15 3x=45

经检验,x=15是原方程的根。(得到结果记住要检验由x=15得3x=45)

答:自行车的速度是15千米/时,汽车的速度是45千米/时。

例3一小艇在江面上顺流航行63千米到目的地,然后逆流回航到出发地,航行时间共5小时20分。已知水流速度为每小时3千米,小艇在静水中的速度是多少?小艇顺流航行时间和逆流回航时间各是多少?

分析:(1)顺水速度=在静水中速度+水速,逆水速度=在静水中速度-水速

(2)题目中的相等关系:顺流航行时间+逆流航行时间=5小时20分。

(3)设小艇在静水中速度为x千米/小时,则顺流航行速度为x+3(千米/时),逆流航行速度为x-3(千米/时),小艇顺流航行63千米的时间为■小时,逆流航行时间为■小时,由此可列出方程。

解:设小艇在静水中的航行速度为x千米/时,则顺流航行的速度为(x+3)千米/时,逆流航行的速度为(x-3)千米/时,根据题意,得

■+■=5■

去分母,整理得8x2-189x-72=0

解得x1=24,x2=-■

经检验x1=24,x2=-■都是原方程的根,但速度不能为负数,故x=-■不合题意,舍去。

x=24

答:小艇在静水中的速度为24千米/时,顺流航行2小时20分,逆流回航3小时。

在解题中教师要通过引导学生来分析,列出方程以至于解出方程。在分析过程中和解题过程中,教师要强调单位的统一性以及检验的步骤。解分式方程时要通过去分母使它转化为整式方程,也就是使未知数从分母的位置“移到”分子上来,注意这里的去分母是在方程的两边同乘一个含未知数的式子,而不是一个非零常数。因此,这样的去分母不能保证新方程与原方程同解。

所以通过去分母得出的解必须经过检验。当这个解使得分式方程的分母不为零时,它才是分式方程的解。而在实际问题中还要检验所解的结果要符合实际生活,才是真正有意义的解。否则都应该舍去。

作者单位:

江苏省东海县双店中学

分式方程应用题篇2

一、不等式应用题

不等式应用题是指列出不等式组表示实际问题中的不等关系数学模型。初中数学的不等式应用题中经常出现至少、至多、不超过等关键词。对于不等式应用题的求解可以按：审、设、找、列、解、答这六个步骤来求解。这要求首先审题，将已知条件分离出来，然后找到“不超过”和“不少于”这些关键条件来确定是不等式应用题。找到合适的数量关系设未知数，最后直接列出不等式组求解。虽然不等式应用题只要区分比较关系，如大小、长短等，但是不等式应用题在实际生活中的应用会比较广泛，所以这种题型出现的概率也很大，那么就要求熟悉不等式应用题。

二、方程应用题

方程应用题是指将实际问题转换为需要列方程来求解的数学问题。方程应用题的突破口就是要找到等量关系，只要明确题目中的等量关系就可以将等量关系转换为方程，然后列方程求解。而题设中的等量关系又需要分析题目已知条件的数量关系，这样分析下来整个方程应用题就简单明了。下面通过例题来详细说明方程应用题的求解过程。

例 某商品原售价50元，因销售不畅，10月份降价10%，从11月开始涨价，12月份的售价为64.8元。求（1）10月份这种商品的售价是多少元？（2）11、12月份两个月的平均涨价率是多少？

分析：题中给出了商品的售价，然后10月、11月和12月份售价就和商品原本的售价存在数量关系，问题（1）要求10月份的售价，设其为x元，通过列方程求解。而问题（2）中平均涨价率联系10月份售价和11、12月份售价，所以可以直接令涨价率为y，列出方程求解即可得出。

解：（1）设10月份售价为x元，

列方程50（1-10%）=x，

解得 x=45元。

（2）令11、12月份涨价率为y，

则由数量关系可得方程

45 （1+y） （1+y）=64.8，

求解可得

y=0.2（y=-2.2不符合条件舍去）

方程应用题是初中数学中最基本的应用题，由这种方程应用题可以衍生一次函数应用题和二次函数应用题，它们的题型相似，只是在题目难度上和理解的角度有些不一样。但是基础的方程应用题意义相对更大。

三、一次函数应用题

一次函数应用题是指题目中牵涉的数量关系可以由线性的二元一次方程来表示的应用题，这类型的题目未知量不像方程应用题只有一个。当题设中出现两个未知数，而且都要求解时，一元方程显然已经不能达到解决问题的目的。此时找到能表示两个未知量之间的线性关系的一次函数，才能求解。总体来说，方程应用题上只找到已知量和未知量的数量关系就行，一次函数在此基础上还要找到两个未知量的数量关系，对于初中学生来说有一定的难度。不过只要掌握方法认真审题，其实方程应用题和一次函数应用题的解法比较类似。

四、二次函数应用题

二次函数应用题属于初中数学应用题中的难点，本身初中数学接触的二次函数内容就不多，要将二次函数的原理结合实际情况来解决问题，这对于学生而言本身难度就非常大。由于二次函数表示方式包括一般式、顶点式、交点式、双根式和三点式。所以二次函数的应用题也是变化最多的，所以审题要仔细，还要能将题设中的已知条件联系到二次函数的知识，通过设立合适的变量才能达到解决问题的目的。

五、几何应用题

分式方程应用题篇3

我们都知道，对于任何一个数学初学者而言，可以把数学知识分为两部分，一部分是固定的公式、定理，这部分内容相对来讲是比较简单的，学生在平时的学习过程中只需要反复多练习，就能够提高应用的熟练程度和解题的准确程度；另一部分则是如何运用这些公式、定理，也就是对于数学学科的认识和理解深度。大部分学生在高中数学的学习过程中都能较为轻松地掌握第一部分内容，但对于第二部分内容的把握性就相对较低。换句话来说，学生在高考中之所以在函数部分失分情况较为严重，主要原因就是对于函数部分的本质内容和数学思想没有达到深刻的认识程度。那么，应该如何把握这部分内容反映的函数与方程思想呢·

一、什么是函数与方程思想

在高中数学课本上，是这样来分别定义函数和方程的概念的。函数关系是指自变量与因变量之间的一种特殊的映射关系；方程则是沟通了算术方法与代数方法的重要桥梁。由此可见，函数与方程在高中数学知识体系中都是起着重要的连接纽带的作用，因此，在高中数学思想中常常将二者合称为函数与方程思想。函数思想指的是在面对某一个或是某一类试题时，通过深入分析题目中所给的已知条件，结合自己学过的数学知识去构造出一个适合题意的函数模型，这个函数模型一定要是学生在日常学习中经常用到的、熟知其结构特点的函数模型，然后利用构造出来函数的性质去解决问题，找出答案。而方程思想则是从问题的数量关系入手，找出题目中所给条件和所求问题之间的等量关系，然后以方程或是不等式的形式反映出来，进行通过求解来找出问题的答案。但是，函数与方程的表达方式并不是一成不变的，很多情况下都可以进行转化。面对已知条件和未知问题等量关系比较清晰的情况，就可以将函数转化为方程，通过方程的求解或是不等式性质的变换来解决问题；面对函数特点明确（如奇偶性、单调性）的情况，就需要将方程问题转化为函数问题，利用函数性质来解决数学问题。在高中阶段，我们将函数思想、方程思想以及二者相互进行转化的思想统称为函数与方程思想，在具体的解题过程中，以下两个方面问题的求解需要经常应用到函数与方程思想。一方面是在求解一些试题时迅速建立函数关系式或是构造出中间函数，进行转化，将其他问题转化为函数问题；另一方面是充分发挥函数性质的特性，用以解决方式、不等式以及参数范围讨论的问题。总的来说，适当的应用函数方程思想，能够有效降低数学试题的难度。

二、函数与方程思想的具体应用

高中学习阶段，函数与方程的表达式是可以相互转化的。以方程为例，方程的左右两端各有一个表达式，这两个表达式可以看作是两个函数式，而方程的求解过程也就是对函数式进行变形解答的过程，方程的解就是两个函数式反馈到图形上的交集。同样的，多个函数式共同组成的求解范围也可以以方程的形式表达出来。在具体的解题过程中，要善于挖掘题目中给出的隐藏条件，有意识地运用函数与方程思想进行解题。具体到高中知识，在进行以下几个方面的试题解答时应用函数与方程思想有时候能够起到事半功倍的作用。

一是在不等式解题中的应用。不等式是等式的一种特殊形式，不等号两端各有一个函数式，但在实际解题时往往要通过等式进行解答，这就是方程。以函数f(x)为例，当讨论函数f(x)与某一定值的大小关系时，就可以转化为不等式问题。二是在集合问题中的应用。从学习层次上来看，集合可以看作是函数内容的基础知识，函数方程思想自然也适用于集合问题。在集合问题中，大部分是用变量去研究问题，通过不同的变形去建立函数关系或是构造函数，近而应用函数性质去解题。同时，高中阶段学习中遇到的变量大部分都是有一定的定义域的，从而构造出来的函数关系或是函数模型自然也有相对应的值域，这样一来，又转化成为方程问题。三是在数列问题中的应用。数列是高中数学中的一个重要知识点，从函数的角度来看，可以将数列看作是一类定义在正整数集定义域上的一类特殊函数，数列中的通项公式、等差数列求和公式以及等比数列求和公式，都可以看作是函数式。因此，在这些函数式的求解过程中可以引入函数性质，更有利于解题。四是在二项式问题中的应用。二项式问题由于较为抽象，许多学生在理解的时候都很难从本质上有所突破，但如果换个角度，把二项式通式看作是函数式来分析的话，可以大大降低学习难度。

分式方程应用题篇4

关键词：一元二次方程；实际问题；教学思考

新课程改革要求数学教学要面向生活，要关注学生的学习体验，树立他们的数学意识，培养他们在实际应用中运用数学的能力。一元二次方程解应用问题的教学，是对已有知识的巩固，也是继续学习运用二次函数解决实际问题的基础，十分重要。本着教师应该成为教学活动的研究者的思想，就一元二次方程解决实际问题的教学，结合认知心理学的原理，笔者谈谈对此问题的一些思考。

一、数学知识应用于实际问题解决的影响因素

认知心理学家和数学心理学家对应用型数学问题解决的影响因素进行了研究。他们认为解决问题的关键是问题的表征，而表征最重要的是进行问题类型判别。根据认知心理学的研究，影响问题解决的因素有：

1.实际问题的表述方式

认知心理学认为，理解问题模型是把问题中的文字或其他方式的表述翻译成读者的内部表征，这是一个信息转换的过程。因此，文字或图形等表述方式会对问题解决产生影响。教学中，表现为同一个问题采用不同的文字表述，学生的理解程度不一样。这就是说，通过“审题”能否弄清题目意思不仅仅取决于学生能力，同时也取决于问题的文字表达。对于数学应用问题而言，这将直接影响学生对实际问题的认知。

2.问题图式与问题表征

图式是用以表征客观事物及其关系的某种知识或心理结构、组织、框架。图式的功能是信息选择和整合，就数学应用题而言，其影响体现在问题归类、问题表征及问题转化中。图式将对问题的表征进行整合，形成完整的表征。在这个过程中，若原有图式能完全表征实际问题，则图式保持不变，否则便产生认知冲突。通俗地说，学生的问题图式就是以前解决问题的方式方法，通常是教师判定学生基础好不好的依据之一。数学家雅诺夫斯卡娅的名言：“解题最终就是归结为已经解决过的问题。”是对图式在问题解决中作用的最好诠释。

3.问题解决策略

问题解决策略指的是，能使问题产生某些变化并由此提供一定信息的处理、试验或探索。学生的问题解决策略及其选择是影响问题解决的重要因素，其解决效率往往与问题类型与策略的对应关系有关，其选择则与学生的知识经验及认知风格有关。

4.问题解决的监控

问题解决的监控属于元认知的内容。元认知在数学实际应用问题解决中是动态的，起辅助决策作用：对反馈的价值判断决定着是否改变问题表征或解题策略，判定问题是否超过自己能力，以及能力不及的情况下放弃还是求助等一系列问题。此外，个人的知识背景、非智力因素对数学应用题的解决也有很大影响，因篇幅关系，这些因素本文不作探讨。

二、教学思考

根据影响问题解决的相关因素，笔者谈谈对一元二次方程解决实际问题的教学看法。为便于说明，以行程问题为例：甲、乙两地相距8000米，张三、李四两人同时分别从甲、乙两地出发相向而行。张三的速度为每小时5千米，李四在遇到张三后又走了20分钟才到达乙地，求两人从出发到相遇所用的时间。

1.根据学生的思维特点，教会学生合理运用自己的语言表述问题

一元二次方程及其应用是初三年级的学习内容。初三学生形式逻辑思维、辩证逻辑思维、创造性思维均已得到一定发展，但存在差异性。其他思维形式如，动作思维、形象思维仍在他们的思维中发挥一定的作用。根据这些特点，教学时采用学生自己阅读问题、教师启发阅读问题和借助多种思维方式阅读问题等，以达成对实际问题的内化。由于思维发展的个体差异性，教师要照顾不同程度的学生，允许他们用自己的方式表述问题。

2.利用典型例题帮助学生获得新图式，利用变式帮助学生巩固图式

图式在数学应用题方面的一个重要作用就是对问题进行分类解决。这就要求教学中对各类问题的典型形式进行恰当地教学，以帮助学生建立新图式。一元二次方程用于解决实际生活，是教学面向生活的体现，其应用相当广泛。不仅有学生熟悉的行程问题、工程问题、比率问题、浓度问题，以及在几何、物理学中的应用。如上述问题，学生很容易识别出是行程问题，图式识别后自然会联系到时间、路程与速度的关系。但很快会发现与一般的行程问题不同，这就涉及问题表征的变式。若学生发现有多重时间、路程与速度的关系，则新图式可慢慢建立。

3.教学中进行问题解决策略的训练

通用的问题解决策略一般有算法策略和启发式策略，启发式策略又可分为手段目的分析法、逆向反推法、爬山法和类比法。此外还有尝试错误法、整体策略等。各种策略在一元二次方程应用题求解上有自己的表现形式。如，算法策略一般是有明确程序的，在一元二次方程应用题解题时可表现为一般的解题步骤，如审题―假设―列出方程―解方程―答。策略的训练方面，一般可以用技能教学的方式进行训练，形成思维习惯。各种算法可以单独使用，也可以结合使用。此时教师可以引导学生进行一题多解尝试，这样不但开阔了思路，也避免了策略过于单一的问题。教学中还可让学生进行探索，如，用整体策略+逆向反推法或单独运用手段目的分析法。策略的学习和探索有一定难度，教师要做好引导工作。解题策略可以通过教师开设专门的策略训练课。

4.培养学生解决问题时的监控习惯

监控问题解决过程是动态的元认知，是对认知活动的反映和调节，目的在于提高问题解决的有效性和效率。如，在尝试错误策略解决问题时，对错误的监控；在整体策略时对哪些细节该省略的认知监控。课堂教学中培养学生的认知监控习惯可以采用自我提问法，通过学生自我观察、自我监控、自我评价的不断训练，养成监控习惯。也可通过相互提问法，以小组教学的形式进行训练。教师应该进行必要的元认知知识的教学，让学生认识到形成监控习惯的重要性，从而主动训练，运用认知监控。如上述行程问题中，可以让学生练习提问：20分钟是谁走的时间？8000米这个条件有什么用？是谁走了8000米等。通过自我提问这种出声的思维方式，培养学生自我监控的习惯。

三、小结

一元二次方程及其在解决实际问题中的应用是初中数学的重要内容，在解决实际问题中体现了数学教学生活化的倾向。在教学中，要充分体现学生的主体性，重视个别差异。通过实际问题转化为一元二次函数的教学，从问题表征、图式、策略和监控等方面培养学生的能力。

参考文献：

［1］范宏业.基于图式理论的一元二次方程应用题教学研究［D］.华东师范大学，2006：14/15.

［2］苑建广.信息转化：数学问题解决的核心策略［J］.教学与管理，2011（12）：44.

［3］李红.现代心理学［M］.成都：四川出版集团，2010：124.

分式方程应用题篇5

考点一、分式的意义

例1 若分式有意义,则实数x的取值范围是_______.

解析:因为分式要有意义,所以x-5≠0,解得x≠5.所以实数x的取值范围是x≠5.

点拨:分式有意义的条件是,分式的分母不能为0. 通过建立关于待定字母的不等式,从而求出待定字母的取值范围.

例2使分式无意义的x的值是( ).

A. x=-B. x=

C. x≠-D.x≠

解析:根据题意,得2x-1=0 .解得x=.

点拨:分母为0时,分式无意义.根据这一条件可以建立关于待定字母的方程,从而求出待定字母的值.

考点二、分式值为0的条件

例3 (1)若分式的值为0,则().

A.x=-2 B.x=- C.x= D.x=2

(2)分式的值为0,则( ).

A.x=-1 B.x=1C.x=±1D.x=0

解析:要使分式的值为零,除了要求分子的值为零外,一定要保证分母的值不为零.

(1)根据题意得,3x-6=0,且2x-1≠0,解得x=2.

(2)根据题意得,x2-1=0,且x+1≠0 ,解得x=1 .

点拨:由于只有在分式有意义的条件下,才能讨论分式值的问题,所以当分式值为0时,须同时满足①分子等于零,②分母不等于零,两个条件缺一不可.

考点三、分式的基本性质

例4 化简:=_________ .

解析:先将分子因式分解为(x-y+1)(x-y-1),然后约去(x-y-1).

==

=x-y+1.

点拨:(1)如果分子、分母都是单项式,那么可直接约去分子与分母的公因式,也就是分子、分母系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的乘积.(2)如果分子、分母中至少有一个是多项式,就应先分解因式,然后找它们的公因式,再约分.(3)约分时一定要把公因式约尽,使约分的结果为最简分式或整式.

考点四、分式的加减

例5 化简:-=___________.

解析:依据“同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减”, 则-===x+y.

点拨:(1)把分子相加减是指把每个分式的分子的整体相加减,即各个分子都应有括号.当分子是单项式时,括号可以省略;当分子是多项式时,括号不可以省略. (2)分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式.

例6 已知ab=-1,a+b=2,则式子 +=____.

解析:将待求分式转化为已知式的形式,再代入求值.

+===-6.

点拨:先将分式转化为条件中所给的形式,再将已知式的值代入求值.

考点五、分式的乘除

例7 化简: (a-2)•=_________.

解析:因为分式的分子和分母都是多项式,所以应先对分子与分母进行因式分解,再根据分式乘法法则进行计算.

(a-2)•=(a-2)•=a+2.

点拨:若分式的分子、分母都是单项式,可直接利用分式乘法法则进行计算,计算结果要通过约分化为最简分式或整式.若分式的分子、分母中至少有一个是多项式,要先对分子、分母进行因式分解,然后运用分式乘法法则计算.

例8 计算:÷ =_______.

解析:根据分式的除法法则,两个分式相除,把除式的分子、分母颠倒位置后再与被除式相乘.

÷ =× =-2 .

点拨:两个分式相除,分子或分母是多项式时,应先分解因式,再利用分式的除法法则进行运算,最后的运算结果要化为最简分式或整式.

考点六、分式的化简求值

例9先化简,再求值:(-)•,其中x=.

解析:(-)•

=•

=•

=.

当x=时,原式=3 .

点拨:在做分式的混合运算时,必须注意运算顺序,即先乘方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号内的,若是同级混合运算,应按从左到右的顺序进行.

例10 已知x-3y=0,求•(x-y)的值.

解析:本题可以把x用含有y的代数式表示出来,再代入化简之后的式子求值.

•(x-y)=•(x-y)=.

由x-3y=0,得x=3y ,原式== .

点拨:根据题型的需要,应先化简,再整体代入求值.

考点七、分式方程及其解法

例11 若关于x的分式方程-=1无解,则a=______.

解析:先将方程-=1转化为整式方程,即(a+2)x=3,再分两种情况进行讨论:

(1)整式方程有解,但解为分式方程的增根,即x=0或x=1 .

①将x=0代入方程(a+2)x=3,此时a无取值;

②将x=1代入程(a+2)x=3得,a=1.

(2)整式方程无解,即方程(a+2)x=3无解,则分式方程也无解.则有a+2=0,解得a=-2.

所以答案为1或-2.

点拨:分式方程无解问题有两种情况.(1)整式方程有解,但解为分式方程的增根.此时应先求出增根,然后把增根代入整式方程,求出相应的待定系数的值;(2)整式方程无解,则分式方程也无解.此时的整式方程应满足“0•x=b(b≠0)”的形式,从而求出待定系数的值.

例12 解方程-=2时,若设y=,则方程可化为_________.

解析:因为y=,所以=,则方程-=2可变形为2y-=2,即2y2-2y-3=0 .

点拨:解分式方程的基本方法是去分母,但对于特殊形式的分式方程可采用换元法求解.

考点八、分式方程的应用

例13 如图1,点A,B 在数轴上,它们所对应的数分别是-3和,且点A,B到原点的距离相等,求x的值.

图1

解析:因为点A,B到原点的距离相等,所以 -3和互为相反数.依题意可得,3=,解得x=.经检验,x=是原方程的解.

点拨:解决此类题时,要注意数形结合,根据数的概念建立方程,从而求解.

例14 某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款1 800元.已知(2)班比(1)班人均捐款多4元, (2)班的人数比(1)班的人数少10%.请你根据上述信息,就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程解决的问题,并写出解题过程.

解析:题目中的等量关系有两个,(1) 班的人数=(2)班的人数×90%,(2)班人均捐款数= (1)班人均捐款数+4元.其中一个等量关系可用来设未知数,另一个等量关系可用来列方程.

设(1)班人均捐款x元,则(2)班人均捐款为(x+4) 元,根据题意得×90%=,解得x=36.经检验,x=36是原方程的根.所以x+4=40.

答: (1)班人均捐款36元, (2)班人均捐款40元.

分式方程应用题篇6

【关键词】初中数学教学；一元一次方程；应用题解题

一、影响应用题解题的因素

1.问题表征

心理表征在认知心理学中是指信息的记载以及呈现方式，而问题表征就属于心理表征，它能够将问题具体详细的呈现在脑海中然后再把问题表现出来，并且每个学科问题表征的呈现也各不相同。数学的问题表征是指当解题者看到一个数学题时，是如何将这个数学问题在脑海中呈现，并且表现出来，也就是解题者在审题的过程中，了解和认识问题的结构，并且通过联想，激活脑海中已经学过的知识，找到与之相连的其他知识点，从而在其中找到解决问题的思路并且能够宏观把控所要解决的问题。对问题表征的认识正确与否直接决定了答案的正确性，错误的甚至是不完整的问题表征都会让解题思路混鲁昂进而一起解题答案的错误，所以，表征对于能否解决问题有着特殊的意义。

2.模式识别

模式是指将若干元素或者成分按照一定的关系形成某种结构，比如在我们的周围所围绕着的符号、图像、物体、音乐等。在认知心理中的模式识别是指当人们接收到一个信息并且输入到大脑中时，大脑会自动将其与记忆中的相关的信息进行匹配，并且对该信息进行识别分类看其属于哪个范畴，然后将其与其他模式进行区别。在方程应用问题当中，比如学生对于工程，水流，相遇等问题的模式识别在表征问题中起着重要作用，在看到题目是，能否正确将问题归类，识别其属于哪个模式对于顺利解题有着重要意义。在解决数学问题时，首先需要识别该问问题属于哪一类，然后再在记忆中进行搜索找到相关的知识，学生头脑中的模式越多，解题的思路就越清晰，也就更加的得心应手。

3.认知图式

在认知心理学当中图式是指人们为了某一特定情境或者需要而产生的认知结构，图式是一种思维、动作模式，也可以将其理解为策略中概念，它是用以抽象概括表征客观存在的事物以及与其相关的关系的一些知识、心理结构以及其框架，然后将一些零散、混乱的知识进行整理、排列，构成一个完整的知识体系，也就是将数学问题进一步细化进行分类，只要学生能够掌握哲学解题模式，就能够解决类似的所有题目，但是，数学中应用题的类型千变万化，存在着无数的解题模式，学生却无法学习到所有的解题方法，此时，就需要运用图式，在题目中发现隐含条件，搜集可能的条件，并且运用所学的数学知识以及运算技能、作图技能、算法和程序性知识等进行解题。

二、常见的方程应用题典型错误分析

1.含有两个数量关系的应用题的典型错误

当应用题的题目中含有两个数量关系时，这句需要进行一次转换才能列出所需方程。例如，小明去商店买了一本笔记本和四支笔，而小丽买了一本笔记本和一支笔正好六元，问售货员多少钱，售货员说18元，问笔记本每本多少钱和钢笔每支多少钱？遇到此类题目，大多数同学都采用算术法进行解答，即先求出3支笔的价钱然后除以三得到每支笔4元，从而求出每本笔记本2元，运用算术法不仅思路简单，而且计算也比较简单。但是如果运用方程解答则更加简单，但是在用方程法姐一元一次应用题时，总会出现一些错误。

首先，审题出现错误，曲解了题目意思，在上题中，如果同学们没有正确理解题意，就会将题意理解为2本笔记本和4支笔的总价为18元，于是就出现了这样的方程式：

解：设每本笔记本X元，那么每支钢笔（6-X）元

列出的方程为： X+4（6-4X）=18-6

其次，所列方程错误，导致方程等式两边的意义不同，如：

解：设每本笔记本X元，则： X+4（18-X）=18

在所列方程中，（18-X）是指4支笔的价钱，等式左边表示的是16支钢笔的价格，而等式右边表示的则是一本笔记本和4支钢笔的价钱，方程等式两边表示的意义不一。

除了以上的典型性错误，在平时的解题过程中，还可能会出现表达不规范，在设未知数以及做大事表达不完整，甚至是设未知数或者作答都忘记的情况也时有发生，也会有其他的一些错误，但是在阶梯式，同学们在审题、列方程以及表达规范三个方面出现的错误最多，所以，这就需要同学们在解题完之后，再进行检验，但是检验也不一定能够错误，这就需要同学们在解题的过程中融入检验，也就是边做边检验，检查所给条件是否用足，量纲是否一致，等量关系是否正确等，如果发现错误，就需要重新审题，以找到正确的解题思路以及答案。

2.算数思想抑制了方程思想

在刚开始学习解方程应用题时，同学们在建立解题思路时，会受到算数解题思路思维定势的影响，会将未知数放在一个很特殊的位置，不将其放到列式的运算中，所以虽然设了未知数，并且列了方程，但是仍然没有建立方程思想。例如，希望小学有学生208人，比红旗小学的5倍还多23人，问红旗小学有多少人？对这个应用题，很多同学会列出X=（208-23）÷5的方程，这就是严重的受算数思想的侵袭，如果不将未知数参与到运算中，就难以发挥其作用，所以如果用算术法解应用题，不仅不易列出算式，而且题目越复杂，求解也就越困难。列方程等式时，不能将求解过程摆在第一位，而要根据题目中的等式关系将其直观的表达出来。

例如，小明走了7公里，用了2个小时，问速度是多少？

算术法：V=S/T=7/2

方程法：设速度为V千米/小时，则2V=7

算术法表示的是用以质量求出未知量，而方程法则是将速度、时间、路程之间的关系清晰的表现出来。

例如：小丽买了3千克苹果，付了10元钱，找回了3角4分，问每千克苹果多少钱？

算术法：（10-0.34）/3=3.22元

方程法：设每千克苹果x元钱，则3x+0.34=10

这是比较简单的题，用方程法很简单，但是用算数法就很难解，而且很多题只能用方程法才能接，用数学法根本解不了。

3.解应用题时的阅读障碍

解应用题时，读懂题目很重要，由于应用题大多是来源于经过加工和省略的实际问题，虽然省略了一些难以理解的复杂内容，但是仍然存在以难以理解文字繁多并且较为模糊的内容存在，这就给学生的审题造成了困难，在解体前，需要审题找到其中的关系，这也就给同学们加大了难度，很多同学在读完提之后，根本不懂要干什么，不知从何处下手，找到突破口，而且用方程法解题时，设未知数很重要。

总结

总而言之，在一元一次方程的解题过程中，审题、计算以及书写规范是同学们经常出现的问题，出现这些问题的主要原因是同学们还没有形成一个完整的知识体系结构，对于方程的类型模式认识不够全面，再遇到问题，不能将其转换成已经学过的知识，并且解题也不够规范，做题态度不严谨，由于这些问题的出现，也说明在平时的学习当中，同学们应该一边学习一边进行总结，并且通过模式识别的方法将知识归类整理，在遇到问题时，便能得心应手，不费吹灰之力就解决问题。

【参考文献】

[1]洪雪娇.初中生求解方程模型应用题的典型错误及归因研究[D].西南大学硕士学位论文，2012.

分式方程应用题篇7

一、提供信息

例1（2008年江苏南通考题）1909年，化学家哈伯在实验室首次合成了氨。2007年，化学家格哈德・埃特尔在哈伯研究所证实了氢气与氮气在固体催化剂表面合成氨的反应过程，获得诺贝尔化学奖。

（1）将氢气和氮气在高温、高压和催化剂的条件下合成氨（NH3）。反应的化学方程式为。

（2）表面化学对于化学工业很重要。在汽车排气管上安装尾气净化装置，可使尾气中的CO和NO在催化剂表面发生反应，产生两种组成空气的气体，写出该反应的化学方程式：。

解析：由题给信息知，第（1）小题中反应物是H2和N2，生成物是NH3，反应条件为高温、高压和催化剂，第 （2）小题中反应物是CO和NO，生成物是N2和CO2，反应条件为催化剂，据此不难写出正确的化学方程式。

答案：（1）N2＋3 H2 2 NH3，（2）2CO＋2NO N2＋2CO2。

催化剂

点拨：认真阅读、收集信息，找出反应物、生成物及反应条件是成功解答此类问题的关键。

二、给出范例

例2（2008年江苏省镇江考题）氢化钠（NaH）与水反应的方程式为NaH＋H2O＝NaOH＋H2。CaH2与NaH的化学性质相似。用方程式表示CaH2与水发生的化学反应：。

解析：尽管课本中没有CaH2的知识，然而，这不影响问题的解答。从NaH＋H2O＝NaOH＋H2入手，推测CaH2与水反应的生成物为Ca(OH)2和H2。由于钠与钙的化合价不同，故Ca(OH)2和NaOH的化学式书写有区别，因此两个化学方程式中的化学计量数不一致，也就是说要重新配平。

答案：CaH2＋2H2O＝Ca(OH)2＋2H2

点拨：书写这类化学方程式的技巧是用好范例，但切忌机械模仿，必须根据化合价写化学式。

三、展示模型

例3（2008年海南考题）构建和谐社会，建设社会主义新农村的目标之一是让农民饮用清洁的自来水。ClO2 是新一代饮用水的消毒剂，我国成功研制出制取ClO2 的新方法，其反应的微观过程图如下：

试回答：

（1）ClO2 叫做 ；

（2）根据反应的微观过程图写出反应的化学方程式：。

解析：本题没有明确给出反应物及生成物，似乎无法解答。其实，认真分析微观粒子模型就能知道，Cl2与NaClO2反应生成ClO2和NaCl，且各物质间的化学计量数之比为1∶2∶2∶2。

答案：（1）二氧化氯 ，（2）Cl2＋2NaClO2＝2ClO2＋2NaCl。

点拨：微观粒子模型是解答问题的基础，藉此确定反应物、生成物，进而写出反应的化学方程式。

四、联系实验

例4（2008年福建三明考题）根据下列图示实验，写出对应的化学方程式并注明类型。

①（ ）；

②（ ）。

解析：图1所示实验为细铁丝在氧气中燃烧，反应物是铁和氧气，生成物是四氧化三铁，反应条件为高温；图2所示实验为电解水，反应物是水，生成物是氢气和氧气，反应条件为通直流电。

答案：①3Fe＋2O2 Fe3O4，化合反应；②2H2O2H2＋O2，分解反应。

点拔：书写此类化学方程式，必须全面回顾实验过程，否则，容易漏写或错写反应条件。

五、限制要求

例5（2008年湖北黄石考题）按要求写出符合题意的化学方程式（各写一个）。

（1）生成两种气体单质的分解反应： ；

（2）不使用催化剂的实验室制氧气的反应： 。

解析：要写出符合题意的化学方程式，各小题就得紧扣以下要求：

（1）属于分解反应，生成物是两种气体单质； （2）实验室制氧气，不得使用催化剂。

虽然限制要求会增大书写难度，但仔细筛选学过的化学方程式便能发现，电解水符合第（1）小题，加热高锰酸钾制氧气符合第（2）小题。

答案：（1）2H2O2H2+O2；（2）2KMnO4K2MnO4+ MnO2+ O2。

点拨：从反应类型、反应条件、物质种类等角度对典型化学方程式归纳、总结，利于解答此类问题。

总评：尽管题型各异，但书写步骤相同，即：一、找出反应物和生成物，并写出化学式；二、在化学式前配上适当的化学计量数，使等号两边各原子的数目相等；三、注明催化剂、点燃、加热、高温等反应条件；四、标出生成物中“”或“”符号。

练习：

1.火柴曾经是人们日常生活中取火的重要工具，火柴盒外侧一般涂有红磷和玻璃粉，火柴头上的火药是由氯酸钾、二氧化锰和三硫化二锑(Sb2S3)组成的。划火柴时，用火柴头蹭一下火柴盒的外侧，因摩擦生热而使红磷着火，产生的火星引燃三硫化二锑，从而使氯酸钾受热放出氧气，使火柴梗燃烧得更旺。

（1）火柴点燃过程中有多个化学反应，请写出其中属于分解反应的化学方程式： ；

（2）在火柴点燃的过程中，会产生一种有刺激性气味的气体，写出这一反应的化学方程式：

3.下列有两组实验，请根据实验中的问题写方程式。

（1）写出实验中“更高”的化学方程式： ；

（2）写出反应“更快”的化学方程式：。

4.请按照下列要求各写一个有水生成的化学反应方程式。

（1）分解反应：；（2）化合反应：

。

参考答案：

1.（1）2KClO32KCl＋3O2；（2）S＋O2SO2。

2. A2＋B22AB

3.（1）CO2+2NaOH＝Na2CO3+ H2O；（2）Mg+2HCl＝MgCl2+ H2

分式方程应用题篇8

关键词：判别式 值域

判别式在中学数学中很重要的，广泛应用的一种概念。它不仅能用于直接判定根的情况，而且在二次三项式，二次不等式，二次函数等方面有着重要的应用。熟练掌握它的各种用法，可以提高解题能力和知识的综合应用能力，若解题过程中正确巧妙地应用判别式，就能给人一种简单明快，耳目一新的感觉。因此，如何使用判别式法解题的有关问题必须引起我们的高度警惕。

一、基本概念

判别式是一元二次方程的根的重要核心。

任意一个一元二次方程（a0）均可配成，因此，由平方根的意义可知的符号，也可以决定一元二次方程根的情况。

叫做一元二次方程的判别式。记作，（读delta）

下面讨论讨论一元二次方程（a0）的根的情况：

当时，方程有两个不相等的实数根。

当时，方程有两个相等的实数根。

当时，方程没有实数根。

方程有两个实数根，上面结论反过来也成了。可以具体表示：

同样，（1）和（2）合起来：方程有两个实数根时，

二、判别式在解题中的应用

（一）判别式在证明不等式中的应用

用判别式来证明不等式，实际上就是求函数的最大（最小）值或值域。利用这种方法来证明不等式比较简便。

下面主要讨论利用判别式来证明不等式的基本方法和技巧。

例1：证明

证明：设中，则取分母整理得，即 *

时，x=0满足不等式。

时，方程*是关于x的一元二次方程，，

，从而可得，由可得，所以原不等式都成立。，所以原不等式都成立。

（二）判别式在解不等式的解集中的应用

设，是一元二次方程的两个实根且，对一元二次不等式

当a>0是，若>0，则其解集为；若，则其解集为；若

当a0，则其解集为；若，则其解集为。

（三）判别式在判断根的分布中的应用

讨论一元二次方程的根的分布情况时往往归结为不等式组的求解问题，其方法有三种：1.应用求根公式2.应用根与系数关系3.应用二次函数图像，在进行转化时，应保证这种转化的等价性.

例2.关于的方程的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实数的取值范围是

解：由题意可知

（四）判别式在集合间的运算中的应用

对于含参数的运算，首先解出不含参数的运算的集合然后根据已知条件求参数。解决集合间的运算中判别式也常用。

例3.设集合，若，求实数a的取值范围

解：因为 所以

对于集合

，因为，所以

（1）当时，即时满足条件

（2）当时，即时也满足条件

（3）当时，即时才能满足条件，由根与系数的关系得，可以得到 ，最后产生矛盾，综上，的取值范围是

首先讨论了已知三角形的两边和其中一边的对角时用余弦定理和判别式来讨论了证明不等式，求解不等式的解集，解决关于集合间的运算，根的分布等方面进行运算时用什么样的方法来把已知的不等式化为方程与判别式之间的关系问题的基本思路。