私募基金管理者的收益定价、风险选择与契约设计

摘要考虑到市场非完备和私募基金管理者风险厌恶的实际情形，本文根据效用无差别原理，得到基金管理者收益的确定性等价价值满足的偏微分方程，并运用有限差分法进行数值分析.结果表明：非系统风险溢价的增大使得收益价值与自有资金率呈递增但呈边际递减规律；管理者的风险选择决定于非系统风险和风险厌恶态度，在契约有限期的情形下，风险中性型管理者会选择无限大的基金波动率，风险厌恶程度低（高）的管理者会选择尽可能大（小）的基金波动率；并从确定性等价的角度讨论了契约设计问题.

关键词随机控制；HJB方程；私募基金；确定性等价价值；风险溢价

中图分类号F830.8 文献标识码A

1引言

自1993年开始，私募基金开始在我国出现，相对于公募基金来说，具有募集对象特定化、门槛高、信息披露要求低和监管疏松等特色.通常，私募基金具有激励型契约，即基金管理者不仅能获得固定管理费，还能通过优异的业绩表现获得业绩提成费，这是一种期权式契约，若市场是完备的，根据Black and Scholes ＼[1＼]，基金管理者的收益价值可通过BS公式计算.但事实上，私募基金是不可流动的资产，且私募基金管理者必须持有一部分基金份额且通常基金被持有至封闭期满，这就致使管理者的财富不能充分分散化，他将面临着不可充分分散化的非系统风险，传统的金融理论强调只有资产充分分散化才能化解非系统风险，因此基金管理者不仅面临着基金的系统风险，还面临不能充分分散化的非系统风险，也称为特质风险，所以传统的B-S定价方法不再适用于私募基金管理者的收益定价，参见夏斌＼[2＼].直觉地，这部分非系统风险肯定会降低管理者的收益价值，并对管理者的投资行为有很大影响.

为了对管理者的收益进行定价和进行相关研究，本文假设私募基金管理者可在无风险资产、市场组合和不可流动的私募基金这三种资产中进行财富配置，且在最优投资策略下使得私募管理者的终止时刻期望财富效用最大化，根据效用无差别原理，利用随机控制方法，推导出了私募基金管理者的收益的确定性等价价值所满足的非线性偏微分方程，以及最优对冲策略的数学表达式.并在定价的基础上，讨论管理者的风险选择和激励契约设计问题.

私募基金是委托组合投资管理的一种，其他常见的委托组合投资管理有：公募基金、券商集合理财产品、对冲基金和信托产品等.委托组合投资管理一直是金融学术界的研究热点，研究内容主要分为三个方面.第一方面，对委托组合投资管理的定价研究，如梁进＼[3＼]在完备市场假设下利用类似巴黎期权定价思想对券商集合理财产品定价，Goetzmann， Ingersoll， and Ross＼[4＼]和Song， Yang， and Yang＼[5＼]探讨了高水位线（High water mark）契约对对冲基金价值和管理的影响，Sorensen， Wang， and Yang ＼[6＼]对私募股权进行定价.第二方面，凸收益契约（如期权式契约、高水位线契约）是否引起管理者的风险寻求行为，根据金融经济学的直觉，学术界普遍认为具有凸性收益（convex payoff）特性的契约会引起基金管理者的风险寻求行为，因为基金管理者只会因基金业绩好而获得业绩提成收益，而不会因基金业绩糟糕而受到相应的经济惩罚，这就致使管理者会通过增大基金的波动率或杠杆来使自己更大可能获得高收益，如Titman＼[7＼]得出在完备市场下，如果基金管理者得到的是欧式看涨期权式的报酬收益，那么他会选择无限大的波动率使得自身收益最大；但这一直觉近期受到了挑战，如Carpenter＼[8＼]和Ross＼[9＼]，他们认为期权式凸性契约不会引起风险厌恶型管理者更多的风险寻求行为，而只有风险中性型管理者会选择无限大的波动率；Panageas and Westerfield＼[10＼]认为在无限期的情形下，即使风险中性型管理者也不会选择无限大的波动率，而是会类似于CRRA（constant relative risk aversion）投资者，选择以常数比例投资于的M-V有效组合和无风险资产.第三方面，从委托角度研究委托组合投资管理问题，设计最优激励契约，如国内研究有张汉江＼[11＼]、刘煜辉＼[12＼]、张永鹏＼[13＼]均从委托角度讨论了激励契约型基金的最优激励契约设计问题，肖欣荣＼[14＼]从委托角度研究了私募基金的管理规模和最优激励契约，发现“2-20”型契约不具有广泛合理性且业绩提成费可降低道德风险，国外研究有Yang[15]讨论连续情形下的委托组合投资管理的最优契约设计问题.本文研究兼顾这三方面，先对私募基金管理者的收益进行定价，再讨论风险选择问题，最后讨论契约设计问题，但本文不是讨论最优契约设计，而是从确定性等价角度讨论契约设计问题.

5结论

资产定价是金融学的核心问题之一，凸收益契约是否引起管理者风险寻求行为和激励契约设计问题也是公司金融研究领域中的热点问题.与公募基金不同，私募基金一般是不可流动的，而且通常基金被持有至封闭期满，所以传统的B-S定价方法不再适合私募基金管理者收益的定价.本文以最优投资策略下的终止时刻期望财富效用最大化为目标，结合随机控制方法，推导出了私募基金管理者收益的确定性等价价值满足的非线性偏微分方程，并用有限差分法求解，进行经济分析.在定价的基础上，本文推导出了风险溢价的具体解析式，当管理者是风险中性的，非系统风险溢价为零；非系统风险溢价的增大使得收益价值是自有资金率的递增凹函数；在有限期的情形下，风险中性型管理者会选择无限大的基金波动率，风险厌恶型管理者可能选择较大的波动率也可能选择较小的波动率，管理者的风险选择决定于非系统风险和风险厌恶程度；最后根据在确定性等价角度下的固定管理费率和业绩提成费率之间的权衡关系，讨论私募基金的契约设计，这对现实中基金管理者设计合理的契约具有重要参考意义.

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