培养学生反思能力 提高学生思想素质

摘 要:越来越精彩的世界,无疑越来越能吸引着学生的眼球,吸引着学生一颗颗年轻而躁动的心。造就出一个个浮躁的学生,主要表现在学习不主动,不反思,只追求片面的背诵知识点,无视知识点的联系;有些陷入题海战术中去,不能自拔,常觉得学有所得,没有总结,没有反思,错了就看下答案,再继续做;对了就沾沾自喜,对其他方法不以为然!这样缺乏反思,就很难获得深入学习的能力和求异、创新的品质,往往印象很浅,思维的深刻性及批判性得不到发展。

关键词:失败 反思 探索 素质 批判性

高中数学新课标中明确指出注重提高学生的数学思维能力,这是数学教育的基本目标之一。人们在学习数学和运用数学解决问题时,不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现,有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断。数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用,而反思是其中不可或缺的重要步骤。

一、反思是纠错的重要手段,又是提高辩证思维的一个重要过程

“失败乃成功之母!”从数学的角度来看,错误中往往孕育着更丰富的发现和创造因素。也就是及时反思,弄清哪些地方易犯错误,观察自己解决问题的结果和过程,找出错误的根源,分析错因,提出改进措施,明确正确的解题思路和方法,这是培养学生批判性思维的重要途径。

1.反思所学知识,注意隐含条件,培养知识、思维的全面性

例1 已知点A(a,2)在圆x2+y2-2ax-3y+a2+a=0的外部,求a的取值范围。

此题一出,学生脸上露出“如此简单”的表情,甚至有学生不屑于动手,看到这样的情形,我心中有了数,找了一个学生上黑板把过程写出来。

解点A在圆外

a2+22-2a2-3×2+a2+a>0

a>2

问:“完全正确?”

“Yes!”齐声回答,还真自信啊,连英文也出来了。

“真没问题?”

“应该还要满足此曲线为一个圆。”梁小燕小声地说着。

“不怕,大胆地把你的思维表达出来,我们90后就要活得有个性,有想法……这样才是我们新时代需要的人才。”梁小燕受表扬后,红着脸,眼里透出坚定的目光。

其他同学也意识到这个问题,很快就纠正过来了。

[反思]本题错解的原因是只注意到点在圆外,而忽视了二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个圆的时候还隐含了一个条件D2+E2-4F>0

这样错解后,学生举一反三,就很好地把握到圆的前提条件,同时在以后的解题中也会注意到题目成立隐含的条件。

2.反思心理定势,克服思维定“死”

学生的解题过程实质上是一个心智活动的过程。学生除了自身知识所限外,还不同程度地受一定的心理因素制约。如心理定势的反作用使学生解题时经常机械地照搬过去的经验去解决类似的问题,缺乏思维的灵活性,从而导致解题迷茫或失误。

例2 若A、B、C是ABC的内角,cosB=1/2,sinC=3/5,求cosA的值。(引自《世纪金榜》)

解:A、B、C是ABC的内角

A+B+C=π,0

sinB=■=■,cosC=

±■=±■

cosA=cosπ-(B+C)=-cos(B+C)

=-(cosBcosC-sinBsinC)

当cosC=4/5时,

cosA=■

当cosC=-■时

cosC=■

一个好学的学生看完答案后,百思不得其解,就跑过来问:“平常做题的时候,这样判断就绝对行得通,为什么这里不行?是不是答案有错?”

“答案出错,很正常。敢怀疑答案的人,很好,学习就要这样。”

“让我看看,可能答案真的错了。”

我认真看了一下过程问:“有没有试过结合图形?”

学生立即动手把两种情况大概的图形画出来,然后发现第二种很难画,于是发现了问题所在。

“那应该怎样排除呢?”她自言道。

“为什么第二个图画不出?”我提示了一下,然后她认真反思第二种情况的图,终于发现B+C>π而通过余弦无法判断,所以转而由正弦值即可,于是把值代入得

sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=■

通过此例的反思训练,此学生在纠正错误的过程中巩固了基础知识,理解了基本概念的本质,从而明确心理定势会阻碍思维的发展,知道解题时要多层面、多角度地去观察、尝试数学问题,有时可以反客为主,有时可以以退求进,真正克服思维定“死”。

常说:“吃一堑,长一智。”从错误中得到的教训,更能发人深思。学生在解题中往往会出现一些错误的思维方法,只有让学生自己进行反思训练,从中找出错的思维方法,才能更好地查出错误,索取新知。

二、反思解题的过程与途径,拓宽思路,优化思维方式,培养学生深入钻研的习惯及探索精神,提高解题能力,反思题目特征,培养思维发散

例3 已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=25,直线l:x+y-4=0,求直线和圆的位置关系。

刚刚学完直线与圆的位置关系的判断方法(几何法和代数法),学生对于通性通法把握得比较到位,能快速的解出来

法一(几何法):

圆(1,2)到直线的距离

d=■=■

直线与圆相交

法二(代数法):

直线与圆组的方程成方程组得

■

消元化简得2x2-8x-9=0

Δ=(-8)2-4×2×(-9)=136>0

方程组有两组解

即直线与圆有两个交点,即直线与圆相交。

变式:已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0,判断直线与圆的位置关系。

[反思]此题与原题都是同一类型题,应该可以用通性通法做,但与原题不同的地方是些直线方程含有参数,于是大部分学生还是用原来的方法去尝试。

解:法一(几何法):圆心(0,1)到直线l的距离

d=■=■=■

(很多学生在这里就无法比较大小了,所以适当提示就可以得出。)

d

直线与圆相交

法二(代数法):直线与圆组的方程成方程组得

■

消元化简得(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0

Δ=(-2m2)2-4(1+m2)(m2-5)=4m2+5>0

直线l与圆C的方程有两个不同的解,即两个不同交点

直线l与圆C相交

评讲的时候问学生,直线l是不是一定直线,学生们立即把眼光放含有参数m的直线l上,通过回忆,一些学生似有所悟(直线方程为上学期所学,大部分学生都忘了),立即回头看书,原来是过某点的直线簇,所以把直线l的方程变为(x-1)m-y-1=0,当■时,直线l恒成立

直线l恒过点(1,1)

又12+(1-1)2=1

定点(1,1)在圆内

直线l与圆C相交

三、反思所学,培养探究、创新精神

在“正弦函数、余弦函数的图像与性质”的教学中,有的学生对课本上的一段文字“在直角坐标系的x轴上任意取一点O1,以O1为圆心作单位圆……”,“提出了自己的见解:这里的单位圆与前面第14页定义相矛盾,应改为:作半径为1的圆。还有从圆与轴的交点A起把圆分成12等份(份数宜是6的倍数。份数越多,画出的图像越精确)”学生认为这种做法还应与五点法作简图的要求一致,即做出的图像应包括最高点、最低点、零点等关键点,而取6的倍数未必能达到这样的目的。如取18份就不含最高点。学生的质疑来自于他们的反思。只有不断反思,才有提高;只有不断反思,才有创新。反思是探究的基础,反思是灵感的源泉。

四、反思数学思想方法,提高数学素质

教学实践表明:引导学生反思能促使他们从新的角度,多层次,多侧面的对问题及解决问题的思维过程进行全面的考察、分析与思考,从而深化对问题的理解,揭示问题本质,探索一般规律,并进而产生新的发现,促使学生的学习活动成为一种有目标,有策略的主动行为。不断的发现问题、提出问题、解决问题,从而培养学生勇于探索,勇于创新的精神。在数学教学中,经常引导学生积极反思自己的学习活动,能优化认知结构,提高学习效率,激发学生的创新意识,使之成为创新型人才。

营造有利环境,形成反思氛围这个环境的基本特征是民主、外向和开放,鼓励学生自主思考,自主发现,批评争论。教师必须做到:无论在课内还是课外,不能让学生对自然,对数学的疑惑、惊奇承担风险。比如来自老师和同学的嘲笑、讥笑等。教师要言传身教,唤醒学生的反思意识,鼓励学生勇于质疑。

日本数学教育家米山国藏指出:“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了,唯有深深铭记头脑中的是数学的精神、数学的思想、研究方法和着眼点等,这些都随时随地发生作用,使他们终身受益。”

参考文献

[1]林婷.数学探究性教学中应树立几种意识.数学教学通讯.2005.1.

[2]林婷.反思及其教学功效.数学教学通讯.2002.11.

[3]夏克旺.数学学习中常见错误的分析与防止对策.中学数学教育.2005.6.

作者单位:广东信宜中学

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