数学思想方法在中学物理解题中的应用

笔者试以几道相关试题，就数学思想方法在中学物理解题中的初步应用，谈谈自己一些的认识和看法.

类型一函数与方程

案例如图1所示，光滑绝缘的水平面右端B处连接一个竖直的半径为R的光滑半圆轨道，最高点C与该半圆的圆心在同一竖直线上，竖直线的左侧区域有水平向左的匀强电场，在离B水平距离为x的A点，有一带电量为-q、质量为m的小滑块从静止开始释放，小滑块沿半圆轨道运动到c处后立即撤去左边的匀强电场，结果小滑块正好落回A点（小滑块可以视为质点），试求：（1）小滑块从A运动到B的过程中电场力做的功.（2）x为何值时，完成上述运动电场力做的功最少？并求出最小的功.（3）x为何值时，完成上述运动所选用的水平向左的匀强电场的电场强度最小？并求出最小的电场强度.

解析（1）对小滑块从A运动到C的过程中，由动能定理得

WF-2mgR=12mv2C（1）

小滑块从C点做平抛运动，根据题意得

2R=12gt2（2）

x=vCt（3）

联立（1）、（2）、（3）式，可以解得Wf=mgx28R+2mgR.

（2）由WF=12mv2C+2mgR可知，

当vC最小时，WF取最小值，则mg=mv2CR（4）

联立（2）、（3）、（4）式，可以得到x=2R.

综述，当x=2R时，WF取最小值，即WF=52mgR.

（3）根据题意，可得E=mgx8Rq+2mgRqx=mgq（x8R+2Rx）.

由均值不等式得：当且仅当x8R=2Rx时，即x=4R，E取最小值mgq.

点评此题第三问考查了如何利用均值不等式求极值的思想方法.具体表现为：根据表达式可以得知，a+b2≥ab （a、b均为大于0），当且仅当a=b时，a+b2取最小值ab.这种思想方法经常在物理解题中得到应用，一般多用于求解运动的距离x、作用力F等一些基本物理量，解题的突破口就在于需要将所求物理量的表达式正确的推导出来，再根据均值不等式的相关知识进行求解.

类型二分类讨论

案例如图所示，BCD为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中BC段水平，CD段为半圆形轨道，轨道的连接处均光滑，整个轨道处于竖直向下的匀强电场中，场强大小E=2mgq.质量为M的光滑的曲面静止在水平面上，底端与水平面相切，一带电量为+q的金属小球甲，从距离地面高为H的A点由静止开始沿曲面滑下，与静止在C点的不带电的金属小球乙发生弹性碰撞.已知甲、乙两球完全相同，质量均为m，且M=2m，g取10 m/s2，（水平轨道足够长，甲、乙两球可视为质点，不考虑它们之间的静电力，并且整个运动过程两小球与轨道间无电荷转移）.试求：（1）甲球滑到曲面底端时的速度大小；（2）在满足（1）的条件下，如果要使两球碰撞后，乙球不脱离半圆形轨道，则半圆形轨道的半径R应该满足什么条件？

解析（1）设甲球滑到木块底端时的速度为v1，圆弧形木块的速度v2，将甲球和木块看做系统，根据题意可知，系统在水平方向上动量守恒，选取v1的方向为正方向，则

mv1-Mv2=0（1）

对系统再根据动能定理，可以得到

EqH+mgH=12mv21+12Mv22（2）

再根据题目中给出的条件，即M=2m，E=2mgq（3）

联立（1）、（2）、（3）式，可以解得v1=2gH（4）

（2）由于甲、乙两球发生弹性碰撞，且质量相等，故碰撞后甲乙两球交换速度.当甲、乙两球在碰撞过程中，除了交换速度，电荷也会发生转移，实现平均分配，即

q甲=q乙=12q（5）

若要乙球不离开轨道，则乙球的运动存在两种情况讨论：

第一种情况：

乙球可以到达半圆形轨道的最高点D，设乙球过半圆形轨道最高点D的速度为v3，根据题意可得：在最高点D应满足

E・q2+mg≤mv23R（6）

乙球从C点运动到D点的过程中，根据动能定理可知

-（E・q2+mg）・2R=12mv23-12mv21（7）

联立（4）～（7）式，可以解得R≤25H（8）

第二种情况：乙球只能到达与半圆形轨道的圆心等高点或更低的位置，然后沿原轨道返回，根据题意可得：

乙球从C点运动到圆心等高点的过程中，功能关系应满足（E・q2+mg）・R≥12mv21（9）

联立（4）、（5）、（9）式，可以解得R≥H（10）

点评此题的第二问考查了如何利用分类讨论进行求解的思想方法.这道例题中提出怎样可以使小球在运动中不脱离轨道，其实，结果存在两种可能性.因此，需要分类讨论，逐一分析，最后综合求解，这也体现了“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略.这种数学思想方法在近年来的各类试题中出现频率较高，破题的关键就在于要具备清晰的思路，严谨的思维和周全的考虑，能认识到要解决的问题是什么，能通过分析发现当我们不能使用统一的标准来解决问题时，就需要分情况逐一讨论，使问题得以解决.