初中不规则图形面积的求法

山东滨州河流镇中学 251807

摘要：本文通过具体的不同几何题目详细阐述了各种计算面积的方法，而且所介绍的计算面积方法均是中学阶段的核心技巧.

关键词：割补法；补形法；等面积代换法；作差法

求不规则图形的面积是初中数学几何的难点. 它较好地考查了基础知识和学生的思维能力，是中考常见的题型. 本文将较全面地介绍求不规则图形面积的各种情况，现举例如下，供大家参考.

求不规则图形面积的基本思路是把不规则图形的面积转化为规则图形面积的和或差，然后用规则图形的面积公式求解. 其实质是转化思想在数学上的应用.

1. 割补法

割补法主要是通过把不规则图形分割成几部分或者进一步把分割下的某部分移动到新的位置，最终把不规则图形的面积转化为规则图形面积的和或差.

例1 （2006山东济宁）如图1，以BC为直径，在半径为2，圆心角为90°的扇形内作半圆，交AB于点D，连结CD，图中阴影部分的面积是（ ）

A. π－1 B. π－2

C. π－1 D. π－2

[D][A][C][B]

图1

解析由于整个阴影部分比较分散，一般用割补法，先分割，再补形. 把弓形CD割下，可证出弓形CD的面积=弓形BD的面积. 因此，转移弓形CD的位置补在弓形BD上，使不规则的阴影图形转化成扇形CAB与RtADC两个规则图形面积的差.

由已知可得∠CAB=∠CBA=45°，又BC为半圆的直径，故∠BDC=90°，∠BCD=45°，所以BD=CD，从而S弓形CD=S弓形BD 所以S阴影=S扇形CAB－SADC

2. 补形法

例2如图2，六个半径为1的圆围成的弧边六角形（阴影部分）的面积为 .

[A1][A2][A3][A4][A5][A6]

图2

解析先补形，再转化. 补出以六个圆的圆心为顶点的六边形A1A2A3A4A5A6，则阴影部分的面积等于六边形的面积减去六个扇形的面积.

顺次连结A1，A2，A3，A4，A5，A6，A1各点，则六边形A1A2A3A4A5A6是正六边形，

所以S阴影=S正六边形－6S扇形=6××22-6××12=6-2π.

3. 特殊位置法

例3如图3，AB为大圆O的直径，大圆的弦CD与以AB上的点O1为圆心的小圆相切于点E，且CD=6，则阴影部分的面积为 .

[D][B][D][B][E][E][O][O][O1][O′][A][C][图3][图4][A][C]

解析由于CD与小圆相切且CD∥AB，故采用运动的观点把小圆平移至两圆心重合的位置（如图4），则问题转化为求圆环的面积. 连结OE，OC，则OEC为直角三角形，所以

S阴影=π・OC2-π・OE2=π（OC2-OE2）=π・CE2=π・

2=9π.

点评位置特殊化法体现了从特殊到一般的思维方法，是一种探求问题规律的有效思路.

4. 等面积代换法

例4（2004山东泰安）如图5，点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，的长为π，图中阴影部分的面积等于（ ）

A. π B. π

C. π D. π－

[B][A][O][C][D]

图5

解析连结CD，OC，OD，由C、D为半圆的三等分点知

∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，∠CDA=∠BAD=30°，于是，CD∥AB. 由平行线间的距离处处相等，知ACD与OCD面积相等. 设圆的半径为r，

则S阴影=SACD+S弓形CD=SOCD+ S弓形CD= S扇形OCD，

而CD=π，所以，=π，故r =1.

所以S阴影==π. 选A.

点评本题中出现平行线，其性质“两平行线间的距离处处相等”是实现两三角形面积转化的关键.

5. 旋转法

例5（2003山东济南）如图6，ABC中，∠C是直角，AB=12 cm， ∠ABC=60°，将ABC以点B为中心顺时针旋转，使点C旋转到AB延长线上的点D处，则AC边扫过的图形（阴影部分）的面积是cm2.

[（D）][C][A（E）][B][D][E][（D）][C][A（E）][B][D][E][图6][图7]

解析此题的阴影部分面积比较复杂，但从其动态形成的角度发现，ACB与EDB全等. 如果将EDB绕点B逆时针旋转至与ACB重合（如图7），则不规则阴影部分的面积恰为两扇形面积之差，从而

S阴影=－=（BA2－BC2）=（122－62）=36π.

6. 整体思维法

例6（2002河南）如图8，A、B、C、D、E相互外离，它们的半径都是1，顺次连结5个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（）

[E][A][B][C][D]

图8

A． π B.1.5π C.2π D.2.5π

解析直接计算每一个扇形的面积再相加是做不到的，可从整体考虑，“积零为整”. 将它们的面积相加，S阴影=++++

=（∠A+∠B+∠C+∠D+∠E）

=×（5－2）×180=1.5π.

选B.

点评在阴影部分是多块分散且每一小块的形状又不规则的情况下，我们常采用“积零为整，整体相加”的方7. 作差法

例7如图9，设计一个商标图案. 在矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=8 cm，以A为圆心，AD长为半径，作半圆，商标图案（阴影部分）的面积等于（ ）

A. （4π+8） cm2 B. （4π+16） cm2

C. （3π+8） cm2 D. （3π+16） cm2

解析本题中的阴影部分可看作是由一个扇形和一个矩形形成的组合图形减去一个三角形后的部分. 选A.

[F][A][B][D][C]

8. 叠合图形的作差法

例8如图10，分别以边长为a的正方形两相对的顶点为圆心，边长a为半径作弧，两条弧围成的阴影部分面积为________.

[a]

解析阴影部分是分别以正方形相对的两个顶点为圆心的两扇形的重叠部分，其面积可由两扇形面积之和减去正方形的面积得到.

点评两个或多个相同图形，重叠形成的阴影部分面积的求法，还可采用其他方法，但以本题中的方法为简.

对于个别不规则图形面积的计算，不宜采用化为规则图形面积的和或差的，可采用以下方法.

9. 数形结合法

例9如图11，四边形ABCD是正方形，边长是a，分别以四个顶点为圆心，以a为半径在正方形内画四条弧，求这四条弧围成的阴影部分的面积.

[B][C][D][A][a][x][z][y][y][y][y][z][z][z]

图11

解析图中阴影部分若分成几个部分单独计算再求和，很不容易. 本题可从整体上分析出各部分之间的联系.

如图，设各块面积分别为x，y，z，则由已知条件得

点评用代数中方程（组）的思想，设未知数列方程（组）解某些几何问题，有时特别有效.

综上所述，求不规则图形面积的题目千变万化，但关键是认真分析图形，根据其结构特点，灵活选用不同的方法.

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