高考中一些不等式的解法研究

摘要：纵观近年来的高考题，不等式已经成为高考的热点内容，不仅考察不等式的基本知识，基本技能，而且注重考查学生的运算能力，逻辑思维能力，以及分析问题和解决问题的能力.文章从高考中不等式试题的设置、特点及其几类基本的方法出发， 同时推广列举了函数与不等式、数列与不等式、解析几何与不等式、线性规划与不等式、含参数不等式的几种解法，形成知识结构和网络，使考生能在解题时能从不同角度去分析。

关键词：线性规划；不等式；二次函数

1.与函数有关的不等式恒成立问题的求解方法

函数是高中数学重要的一章，在高中数学中有着重要的地位和作用，高考中经常出现函数类问题的解决最终归结为对函数性质，函数思想的应用，这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的图像，性质，学习中常用的数学思想与方法，也是必须掌握的知识要点，如数形结合，分类讨论的思想等数学方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.

1.1 一元函数型――利用单调性求解

利用导数研究函数的单调性，把不等式证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式.

1.2 二次函数型――利用判别式、韦达定律及根的分布求解

例1（2012 北京）已知 ， ，若 ， 或 ，求 的取值范围.

分析 对于有关二次不等式的 （或 ）在指定区间恒成立问题，可设函数 ，先由 的符号确定抛物线的开口方向，再根据图像与x轴的交点问题，由判别式解决问题.

解 由已知 ，可得 ，要使 ， 或 ，必须使 时， 恒成立

2. 含参数不等式的求解方法

确定恒成立不等式中参数的取值范围需要灵活应用函数与不等式的基础知识，并且要在两者间进行合理的交汇，因此此类问题属学习的重点，然而，怎样确定其取值范围呢？课本中却从未论及，但它已成为近年来命题测试中的常见题型，所以此类问题属于学习的热点，在确定恒成立不等式中参数的取值范围时，需要在函数指导的思想下，灵活地进行代数变形、综合地运用多科知识，方可取得较好的效益，因此此类问题的学习当属学习过程中的难 .

2.1 函数值域法

利用函数在给定区间上的值域.确定含参数或未知数的代数式范围，然后再联系不等式求，此法看似简单，其作用不可低估.

例2 （2012江苏 ）已知函数 的值域为 ，若关于x的不等式 的解集为 ，则实数c的值为多少.

分析 本题考查二次函数的解析式以及性质和一元二次不等式的解法，通过运用二次函数的性质求解.

2.2 构建函数法

当参数难以分离而不等式是有关某个变量的一次或二次函数时，可以通过构建函数来解决.函数思想和方法已渗透到数学的各个分支.在一些数学问题中，通过数式类比，构造适当的函数模型，然后利用函数的有关性质结论求解，往往会有意想不到的效果.这里，我们主要介绍如何通过构造一次函数，二次函数模型，并利用它们的性质来确定参数的取值范围.

3高考中不等式的其它求解方法

3.1 数列不等式的求解

4.1.1 放缩法证明不等式

这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解问题的能力.灵活掌握等差（比）数列的相关性质以及有关性质、公式的延伸，可使解法简捷.解决这类问题常常要用到放缩法，而求解途径一般有两条，一是先求解再放缩，二是先放缩再求解..

原不等式得证

用放缩法证明数列不等式，关键是要把我一个度，如果放得过大或缩得过小，就会导致解决失败，而且放缩法灵活多样，要能想到这一个个恰到好处进行放缩的不等式，需要积累一定的不等式知识，同时要求我们具有相当的数学思维能力和一定的解题智慧.

3.1.2 裂项求和证明不等式

3.2 分离参数法

例5 若 对任意实数 都成立，求 的取值范围.

解 将 与 分别集中，得

令 ，易知 的最小值为0

根据题意，只需 ，

一般地，利用最值分离参数法来确定不等式恒成立中参数的取值范围基本按照先将函数与参数分离，即化为 （或 ）的形式；再求 在取值范围内的最大（或最小）值；最后解不等式 （或 ）得 的取值范围.

3.3. 数形结合法

某些含参数不等式恒成立问题，既不能分离参数求解，又不能转化为某个变量的一次或二次函数时，则可采用数形结合法.我们在解题时，可以有意识地去认识，挖掘和创造抽象的直观形象，化抽象为直观，由数思形，已形辅数.

说明 对于解决含参数的不等式恒成立问题，我们可以先把不等式两端的式子分别看成两个函数，并画出两函数的图像，然后通过观察图像的位置关系，解决问题.

4结论

本文通过对不等式的证明和求解的各种题型进行研究，发现了不同题型的不同解法，还有一题多解的情况.这告诉我们：学习不能单靠老师和书本，只要善于发现和总结，就可以找出适合自己的解题方法，弄清知识点内在联系，并形成知识结构和网络，在解题时能从不同角度去分析解决，才能达到对知识融会贯通、运用自如的目的.

参考文献：

[1]田宝运；不等式问题中的数学思想[J]；数理化学习（高中版）；2004年06期

[2]汤斌；解含参数问题的一种常用技巧[J]；中学数学教学；1997年S1期

[3]穆彦松；新课标下“不等式”教学与解题研究[D]；辽宁师范大学；2011年

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