投资联结型人寿保单定价的蒙特卡罗方法研究

【摘要】文章主要在投资账户价值服从几何布朗运动、利率为常数、没有交易费用及市场无套利假定条件下，研究投资联结型保单定价的蒙特卡罗方法。首先说明在给定生命表条件下，此类保单实际是一系列特殊的欧式期权组合，其次给出期权价格的表达形式，随后给出运用蒙特卡罗模拟方法求数值解具体步骤。可据此编写程序，用于实例计算。这为未来更深入的研究提供了基础。

【关键词】投资联结型 人寿保险 常数利率 蒙特卡罗

一、引言

随着经济的发展，我国的保险市场也取得了巨大的成就，保险产品的合理定价对于保险市场的进一步发展有着尤为重要的意义。在此，我们以投资联结型人寿保单为例，对其定价进行研究。由于保单价值依赖于投资账户的价值，且保险实际上是一种期权，故在本文中，我们基于期权定价理论和蒙特卡罗模拟方法来研究此种保险产品的定价问题。通过对投资账户价值建模，在此基础上模拟出其价值路径，就可计算出不同路径下不同到期日的期权在初始时刻的价值，然后查生命表获得被保险人活到某时期的概率，以此求得期权价值的加权平均值，便得其公平保费。最后加上保险公司要求的利润，就得到趸缴保费额。

二、模型

（一）前提假设

（1）连续复利计息。设短期利率为常数r。投资账户在t时刻的价值记为St，且它服从几何布朗运动：dSt=μStdt+σStdwt；其中，μ、σ分别为投资账户的期望收益率和波动率，且为正常数，通过历史数据计算出；Wt为一个标准布朗运动，是投资账户价值的波动来源。

（2）给定生命表以及被保险人的年龄，记投保时为时刻0，则可通过查生命表获得该被保险人在投保后的第m年死亡（即他在m-1年末仍活着，而m年末死亡）的概率为Pm，且与St相互独立。

（3）记保单期限为T。若被保险人在投保后，在某一年意外身亡，则保险公司在该年末进行赔付，赔付额为此时投资账户的价值。若保单到期时，被保险人仍然健在，则不进行赔付。即在m年末的赔付为

fm=Sm，若投保人在该年度死亡（概率为Pm）0，若投保人不在该年度死亡（概率为1-Pm）

（4）保险公司要求的利润率为θ。市场是完备的。

（二）求解

首先，我们说明，此种投资联结型人寿保单可视为一系列到期日不同的欧式期权的某种组合。我们先看如下更简单的保单，它规定如果被保险人在投保后的第m年死亡，则保险公司赔付金额Sm，否则不进行赔付。显然，这是一个特殊的欧式期权（说特殊，是因为它的执行有条件，即/被保险人在第m年死亡0；且其执行价格为0，这使得B-S公式无效）。通过模拟，我们可以获得该期权在投保时的价值Vm。又由于Pm已知，因此，该保单可视为Pm份到期日为m（其中，m=1， 2， 3，，T）的上述期权的组合，从而，对各Vm以Pm做加权平均，即可得该保单的公平保费。其次，期权价格是到期日偿付的贴现值的期望，且一般是在风险中性测度2下计算的。此测度通过如下变换可以得到：记真实测度为P，并以%P记一个新的概率测度。定义二者的Radon-Nikodym导数为 =pt-exp[- λdwt- λ2ds]=exp[-λdwt- λ2t]；并定义wt=wt+λt，其中，λ=（μ-γ/σ），为投资账户价值的风险溢价。从而在测度%P下wt为布朗运动，而St满足dSt=μstdt+σStdwt，即在此测度下，投资账户的期望收益率等于无风险利率，从而pt为”风险中性测度”。这样的测度变换是有意义的，因为L通常难以准确估计，而在%P下，它为无风险利率所代替，可以使得求出的数值解更加准确。最后，我们给出用蒙特卡罗模拟方法定价的步骤。简言之，此方法就是通过模拟，生成许多条基础资产的价格路径，再依据期权的偿付公式，算出各条路径下的偿付值，并对所得结果求期望，得到数值解。因为，由大数定律，当模拟次数增大，此数值解将依概率收敛于真实值，因此这是一种较有效的求解方法。其具体步骤如下。

（1）保险期限通常为整数个年度，记为T。以一年为一个区间，将保险期限离散化。

（2）模拟St的路径。由St在%P下服从漂移率为r的几何布朗运动，根据随机微分方程的理论，可得：St=exp[rt- σ2t+σwt]。

故在节点m（m=1，2，，，T）有：Sm=Sm-1exp[r- σ2+σ（wt-wt-1）]；其中（wt-wt-1）为测度%P下，%wt 在区间[m-1，m]的变化，可知它服从均值为0、方差为1的正态分布，故文献[1]可知，可通过生成相互独立的T个标准正态分布随机数来模拟此序列。从而给定投资账户的初始价值S0后，可通过上述递推关系，生成St的路径。

（3）依照生成的St的路径，以及假设4中fm的表达式，我们可得在该路径下，到期日依次为1、2、，、T的上述类型期权在初始时刻的价值。

（4）重复上述三个步骤，我们模拟M次（M为一个正整数），则我们可获得M组到期日依次为1、2、…、T的期权的初始价值。求其期望，便可得上述期权的初始价值Vm（m=1，2，，，T）的一个数值解。再以概率pm做加权平均，即求V=ETm=1vmpm，便得到保单的公平保费V。最后，将V乘以（1+θ），即得其定价。

依照此步骤，可以编写相应的程序，用于现实计算。

三、结语

本文中，我们在一系列假定条件下，研究了应用蒙特卡罗模拟方法对投资联结型人寿保单定价的问题，我们首先说明了此类保单实质上是一系列特殊欧式期权的组合，然后展示了应用蒙特卡罗方法求其数值解的步骤。

需要说明的是，在研究中，我们做出了许多假定，以突出我们想重点表达的思想。这样的处理，无疑会导致一定的误差。在未来的进一步研究中，可以考虑对假定条件的如下放松。首先，可以假定利率也为一个随机过程；其次，可以加入交易成本；此外，还可以考虑参数和也为随机过程的更真实的情形。希望本文为未来的进一步研究奠定了一个基本框架。

参考文献：

[1]P. Glasserman. Monte Carlo Methods in Financial Engineering.[M].北京：高等教育出版社， 2008.

[2]马俊海，张维.金融衍生工具定价中蒙特卡罗方法的近期应用分析.[J].杭州：管理工程学报， 2000.