对高三数学例题课的思考

摘 要：例题课是教学的重要组成部分，包括两个方面：一是课前例题的选择，二是课上教师的讲解。选择例题要注重基础性、针对性、思想性和拓展性，讲解例题则要注重展示、提示、评价、巩固等几个环节。

关键词：解题；例题选择；题海战术；拓展；评价；巩固

美国数学教育学家波利亚在《数学的发现》序言中说：“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练。”他还有一句脍炙人口的名言：“掌握数学就意味着善于解题。”重视解题能力的培养，就不能不提到例题课。

数学例题课是中学数学教学的重要组成部分，其主要目的是教会学生如何分析数学问题，如何应用所学数学知识，寻找相应对策，解决未知问题，提高解题能力，养成规范解题的习惯。进入高三后，例题讲解成为数学课的一个主要形式，但如果一个数学教师每天都在课堂上不厌其烦地就题讲题，在课外让学生搞题海战术，那么不仅教师教得疲惫，教得厌烦，学生也会学得辛苦，而且在高考中很难有好的作为。因此，如何让例题课更有效果，如何让例题课的讲解与高考有机结合起来，如何让每个学生都能在例题课上收获进步，是我们每个数学教师应该认真思考的一个问题。

数学家弗里德曼告诉我们，寻找解题的方法不能教会，而只能自己学会。要让学生真正学会解题的方法，要真正发挥例题课的作用，有两个重要的环节一定要处理好，一是课前例题的选择，二是课上教师的讲解。笔者结合自己多年在高三复习教学中的一些体会，谈谈在这两个方面的感受。

一、例题的选择

我们老师总希望通过几道有代表性的例题分析、讲解和发挥，把某些基本概念和基本方法阐述得一清二楚，达到既强化“双基”又提高能力的目的，因此所选的例题是十分重要的。

例题的来源有很多，课本上有，教辅上有，试卷上有，网络上有，如何从中选出有代表性的呢？笔者认为，应该从以下几个方面去考虑：

1.基础性，即重视课本中例题习题的作用

很多老师在高三复习，特别是第二轮复习时，拿在手上的要么是教辅用书要么是各地收集来的试卷，几乎把课本放弃了。他们认为书本的例题习题在新课学习时已经讲过做过了一遍，而且整体难度相对较低，没有太多的讲解价值。

其实这样的理解是片面的。在每年高考后，很多学生和老师都会感觉到有很多道题目都有点面熟，仔细研究之后就发现这些题目都是课本题目改编甚至是原题。就拿2011福建高考来说，在几次试卷评析会上都有人指出理科4题、6题、8题、12题、21题，文科5题、6题、11题、13题都是源自课本。

课本是考试内容的载体，是高考命题的依据，也是学生智能的生长点，是最有参考价值的资料。在一次关于福建2012年高考数学考试说明答疑会上，来自福州八中的高级教师周平就反复强调了这样一句话：“书中自有考题目，书中自有解题术，书中自有言如玉。”只有吃透课本上的例题、习题，才能全面、系统地掌握基础知识、基本技能和基本方法，构建数学的知识网络，以不变应万变。

2.针对性，即能结合高考的难度，结合学生的实际

经常听到有人提“教师跳进题海，学生跳出题海”的口号，要做到这一点，需要我们教师所选的例题有针对性，能针对教学的重点、难点和考点，能起到示范引路、方法指导的作用。一张考卷上或者一本教辅书上的每道题目都去讲解，这是不可能的，一来时间不允许，二来有些题目的要求与我省的考试大纲是有区别的，三来有些题目的难度与学生的实际水平是不相符的。

例如：对以下三个问题的处理，我们就要区别对待。

问题1：立体几何的二面角求解；

问题2：古典概型中所需要用的列举方法；

问题3：直线与圆锥曲线的位置关系。

问题1是立体几何的一个难点，以前高考常考，现在在外省的试卷中还会出现，许多教学参考书上也有。但如果放在文科班的教学中，因为我们的考试要求不高，所以这样的题目就没有必要去深入钻研。问题2就不一样了，它有要求，常考，但其难度较低，大部分学生都能较好掌握，因此我们没有必要在课堂中大张旗鼓地通过例题去巩固。问题3是解析几何的重点，学生能理解，也能得分，但它经常要用到数形结合和分类讨论的数学思想，运算量大，所以学生容易失分。像这方面的例题，就是有针对性的问题，需要我们加大力度去分析、讲解、突破。

选择题目，我们要一定要分析高考、分析学生，然后有计划地精心研究全国各地的高考题和模拟题，从中精选和改编部分面目新、质量高、难度适中的试题，有计划地训练、讲评，以少胜多，提高效益。对“会而不对”“对而不全”“眼高手低”的现象要引起足够的重视。例题的作用是帮学生分析探求解题思路，分析错误原因，吸取教训，更要能引导学生联想、拓展、延伸，以例及类，探求规律。如果设计的不符合学生实际能力和需要，或太难，或太深，学生不会做，无结果，他们的兴趣和情绪就会受到影响。

3.思想性，即例题中能渗透思想方法指导

数学不仅仅是一种重要的工具，更重要的是一种思维模式、一种思想。注重对数学思想方法的考查也是高考数学命题的显著特点之一。数学思想方法是数学的精髓，是适用于数学全部内容的通法，对于数学思想和方法的考查必然要与数学知识考查结合进行。只有运用数学思想方法，才能把数学的知识与技能转化为分析问题和解决问题的能力。

虽然我们的教辅经常会有一个专门的章节进行思想的讲解，但这是不够的，数学思想方法应贯穿于整个高中数学的始终，要把数学思想方法渗透到每一章、每一节、每一课、每一套试题中去。要结合具体问题不失时机地运用、渗透数学思想方法，对其进行多次再现、不断深化，逐步内化为自己能力的组成部分，实现“知识型”向“能力型”的转化。

常用的数学思想方法可分为三类：一是具体操作方法，如配方法、消元法、换元法、迭代法、裂项相消法、错位相减法、特值法、待定系数法、同一法等；二是逻辑推理方法，如综合法、分析法、反证法、类比法、探索法、解析法、归纳法等；三是具有宏观指导意义的数学思想方法，如函数与方程的思想方法、数形结合的思想方法、分类与整合的思想方法、化归与转化的思想方法等。

例1.若方程lg（-x2+3x-m）=lg（3-x）在x∈（0，3）内有唯一解，求实数m的取值范围。

■

略解：原方程变形为3-x>0-x2+3x-m=3-x

设曲线y1=（x-2）2，x∈（0，3）和直线y2=1-m，如图所示，可知：

①当1-m=0时，有唯一解，m=1；

②当1≤1-m

m=1或-3

在这道例题中就渗透了数形结合的思想方法。通过这道例题，学生进一步理解了数形结合是转化的重要体现，是解决函数问题最简洁、最重要的手段，理解了其本质是借助形的直观性来阐明数之间的联系，借助于数的精确性来阐明形的某些属性。

4.拓展性，即例题选择要有丰富内涵

决定高三例题课复习效果的关键因素不是题目的数量，而在于题目的质量和处理水平。一节课与其抓紧时间大汗淋漓地讲五道题，不如愉快宽松地引导学生探讨完两道题。对于同一道题，从不同的角度去分析研究，可能会得到不同的启示，从而引出多种不同的解法。在教学中，不失时机地通过引导学生进行“一题多解”的训练，通过广泛的联想，使我们的思维触角伸向不同的方向、不同的层次，这样不仅能巩固所学知识，而且能较好地培养学生思维的广阔性；或者是分析引导“多解归一”，挖掘共性，归纳规律。

例2.如图，平面■，■，■，■与■的夹角为■，■与■的夹角为■且■=■=1，■=2■，■=λ■+μ■，则λ+μ的值为 。

■

解法1：坐标法

建立平面直角坐标系，通过建立平面直角坐标系，利用三角函数的定义，把向量运算转化为坐标运算。

解法2：向量法

考虑到三个向量的模已知，两两夹角也已知，所以可利用向量的数量积处理。

解法3：向量加法的平行四边形法

根据向量加法的平行四边形法则联想到向量加法的平行四边形法则，通过作图，解直角三角形获解。

这道题经常在高考题中有所体现，虽然题目简单，但其中包含的知识点却不少，每个解法也都很有代表性。对于这种题目，就要好好地加以应用。由题海战术向习题精选转变，由重知识向重思维过程转变，由重巩固掌握向纠错反思转变，由就题论题向借题发挥转变，才能发挥习题功效，达到巩固知识和提高能力的目的。

二、例题的讲解

笔者认为，在高三复习备考中，老师将题目讲透是尤为重要的。因为数学能力是在数学知识学习的过程中自发地形成和发展起来的，这个过程需要自觉参与。所以，我们在例题的讲解中，要避免一言堂，不能以讲出答案为己任而走马观花、蜻蜓点水式地讲解，而是要为学生创设一个自主探究、合作交流的学习环境，更要注意一题多解、一题多变及思想方法的归纳，只有这样，才是有效的教学。而要做到这一点，笔者认为有四个过程要落实到位。

1.展示各种解题思路和过程

给出一道例题后，我们要让学生去思考，也要让学生表达自己对题目的认识及自己的解题思路，然后将各种解题方法进行板书演示或者投影演示。学生会有各种各样的解题方法，也许是错的，也许是不完美的，但都没有关系。下面是一道笔者上课时用到的例题。

例3.求函数f （x）=■的值域。

这道题给出后，老师不做引导，学生自由交流讨论，一会儿，便有了很多答案。

解法1：利用函数的有界性

略解：由y=■得cosx=■。

又cosx∈[-1，1]，得-1≤■≤1。解关于变量y的不等式，得到答案。

解法2：分离变量法

略解：y=■=■-1，由3+cosx∈[2，4]，得■≤■≤3。

解法3：复合函数法

略解：y=■=■-1？圯y=u-1u=■v=3+cosx

解法4：判别式法

略解：令t=tan■，可得y=■，t∈R，然后利用判别式法完成。

当黑板上出现四种解法后，学生觉得很有成就感，但还没结束，学生马上又提出了一种新的解法。

解法5.导数法.

先用导数证明f （x）=■在[0，π]内是单调增函数，再结合单调性求解。

2.提示各种方法的特点，分析知识来源

五种方法都由学生提出来，都有自己的特点。这个时候，老师先肯定各种思路，然后对这几种方法进行一些简单的小结。这个小结，要能从解题过程的合理性、思维的严谨性、表达的规范性等方面进行分析。

解法1是最多学生想到的，这是典型的反函数的思想，结合三角函数性质，技巧性较强，容易在最后的解不等式中出现小问题。解法2和解法3有相似之处，主要是利用已学过的函数的性质进行解题，体现了函数与方程的思想在数学中的作用，对表达规范要求略高，容易出现的问题是反比例函数的值域求解，建议结合图象进行解题。解法4的整体要求比较高，用到了换元法、万能公式，平时接触不是很多的同学可能会觉得吃力。解法5中，直接求导判定单调性容易想到，但为什么可以将自变量的范围缩小也是不好理解的，而且求导后的运算过程显得复杂，会是一个难点。

3.评价优化解题方法，消化吸收

第一个过程更多的是学生自主表演，第二个过程是教师的点评，这两个过程结束后，并不意味着解题结束。现在的教学都很提倡反思，反思不仅仅针对老师，也一样要求学生会反思。荷兰数学教育学家弗赖登塔尔说：“反思是数学思维活动的核心，只要学生没能对自己的活动进行反思，他就达不到高一年级的层次。”波利亚也说过：“回顾，是领会方法的最佳时机。”

一道题目价值不仅仅在于做对，做会，更在于你从中领悟到了什么。所以，这个时候，教师就要根据问题的结构特点，再让学生思考几个问题，这几种方法的解题关键在哪里，你是否能理解？能不能将其中几个方法在一起形成更好的解法？或者有同学能另辟蹊径找到更好的解法？

马上有同学提出新的解法。

解法6：将解法2的分离过程与解法5导数法相结合，即先变形，再求导，表达容易，运算也简单很多。

在学生都以为到此结束时，老师提示了运用转化及数形结合的思想方法，让学生再认真观察这个式子，大胆联想。

有学生提出了“斜率”的思路。

解法7：y=■表示定点A（3，3）与动点B（-cosx，cosx）的连线的斜率。而动点B是在线段x+y=0，x∈[-1，1]上运动的。

如图，我们可以得到：

kmin=kAB1=■，kmax=kAB2=2。

七种解法都是学生自己发现、自己总结、自己评价的，自然也容易得到认可，吸收内化。

4.例题变式巩固过程

教师针对最后的解法，点出转化思想在数学中的地位非常重要，同时要求学生认真比较这么多种解法的利弊与依据，启发学生：一道好题能激发人的兴趣，引导人的思想，启迪人的思维，在平时的学习中应养成探索不同的方法解题的习惯，这样才能更好地提高解题的能力。

数学课中经常出现眼高手低的情况，看似听得清楚，到自己动笔时不知所措，更别期望能达到知一题会一类的效果。因此，相应的巩固习题是不可少的。

例4.求下列函数的值域。

（1）y=■，

（2）y=■

（3）y=x-1+x+2

（4）y=■

这个过程可以在课堂中进行，也可以放到课后作业中去落实。

做好每个环节的工作，选好例题，在讲解中注重教学思维活动的过程，增强学生应用数学的意识，使学生学会用已有的数学知识探索新的数学问题，将实际问题数学化，并加以解决，这样的例题课才是有效的，才是受学生欢迎的，才能让学生通过数学学习，掌握适应终身学习的基础知识、基本技能和方法。

参考文献：

[1]朱慕菊，钟启泉，崔云漷，等.普通高中新课标方案导读.华东师范大学出版社，2004-01.

[2]王峰.新课标下高三复习数学老师应如何讲解例题.中学数学教学，2010（6）.

[3]波利亚.怎样解题.阎育苏，译.北京：科学出版社，1982.

[4]罗增儒.数学解题学引论.西安：陕西师范大学出版社，2001.

（作者单位 福建省厦门市杏南中学）