数学建模在中职数学教学中的应用

摘要：本文从中职数学建模的意义、在教学中的实例等方面阐述了作者在实际教学中对于数学建模的探索与实践。

关键词：数学建模；中职数学；教学

20世纪以来，随着科技的飞速发展，数学的科学地位得到了显著的提高。这一变化来源于数学与实际生活的紧密结合。通过建立恰当的模型解决实际生活的各种问题，这就是数学建模。从这一层面讲，数学的存在性正是依托于数学建模。因此对于任何一个学习数学的人而言，建模能力的培养都是非常重要的。众所周知，学生建模能力的培养主要来源于教师的教学活动，故而就数学建模在数学教学中的重要性及如何实现这一能力的培养进行探讨显得很有必要。结合作者所在单位的实际情况，本文将专门就数学建模在职业中学的教学情况进行探讨。

一、数学建模简介

1.数学建模的概念。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，将现实生活中具体工作过程或实际问题，通过抽象和简化，建立为具有一定代表性的、只有数字符号的模型，从而进行分析和解决问题。事实上，我们现在所有数学知识中概念和各种计算公式（含方程式）都是源于实际生活，都是为了解决实际生产问题而建立的。如：“极限”概念，微分和积分的计算方法，就是牛顿在研究和解决变速运动时提出的。麦克斯韦在研究电磁波辐射时，就建立了电磁波辐射模型，并导出了麦克斯韦方程组。数学模型构建的操作程序大致上可以概括为：实际问题分析抽象与合理假设建立模型数学问题数学求解实际解检验实际问题。

2.数学建模的应用。数学建模是一种源于生活、服务于生活的数学分析工具。它不仅是为了帮助我们解决实际生活和生产活动中所出现的具体问题，它还是帮助我们进行科学研究探索微观世界，以及了解事物未来变化趋势的有效手段。如，在宏观工程技术领域，诸如机械、电机、土木、水利等领域中将利用数学建模进行优化项目设计。在高新技术领域，譬如无线通信、航天卫星、自动化控制，以及在电子、中子等微观世界中，数学建模更是可以使我们预测它的变化或可能出现的问题。数学建模连接着数学知识和现实世界，将抽象的数学概念和定律变为具体的直观的事物，所以它的应用越来越广泛。

二、开展数学建模教学的重要性

1.实现中职教育目标所决定。中职教育培养的是生产第一线操作人员或技术人员，学习和了解数学建模不仅有利于丰富中职生数学知识，还有利于扩大他们的知识面，提高运用数学知识解决实际生产中可能遇到的问题。中职学生数学基础薄弱，对于抽象的数学很容易产生厌学心理，但是，他们思维活跃，对于新鲜事物有着强烈的好奇心。我们联系他们专业学科（或职业岗位）需求，结合数学教学进程，适时提出蕴含着一定数学思想方法的问题，如：金融专业中的银行贷款与分时付息问题、电子企业的元件标称值与误差问题、制造行业中生产的次品率测算与控制问题、物流业的油价与运输成本问题等，这不仅使中职教育中数学学科教学服务于专业课教学，在文化课教学中渗透了职业意识，还培养了学生用数学思想解决实际问题的能力，让他们感受到学以致用。

2.激发学生学习主体所要求。根据现代教育理论，学生是教学活动的主人，是学习、掌握和最终运用知识的主体。教师在教学活动中只是起着引导作用，起着组织和协调作用。在数学建模教学活动中，在问题的分类整理归纳提出抽象建模分析解决等环节，学生均可以参加进来。由此，学生学习积极性和主体性表现将更加突出。学生改变了过去被动学数学、只会跟着老师解答题目的状态。这是因为，一个问题的提出，它可能有不同的解决方法，即有不同的数学建模形式。在学生之间和师生之间交流讨论之后，他们将获得自己的新认识和新体会，从而形成自己的数学知识结构，以及分析问题的方法。这就为中职学生的继续学习和终身发展奠定基础。

3.培养学生创新能力所必须。中职教育不能是一种终结性教育，它应该是一种终生教育。中职教育不能只是一种就业教育，它更应该是一种创新教育。当今社会发展迅猛，科学技术日新月异，新技术新工艺不断出现在生产过程中，所以，培养中职学生的收集信息能力，学会学习，从就业到创业十分必要。通过数学建模的教学活动，让学生学会捕捉信息、搜集数据，进而分析、提出解决方案到最终实施，这不仅可以有效地培养中职学生收集信息的能力、分析问题的能力和解决问题的能力。并且在建模过程中，还可以培养中职学生的创新意识和能力，只有这样，我们的中职学生才能实现从就业走向创业，为他们的职业生涯发展奠定坚实的基础，提升中职教育教学质量。

三、在教学中渗透数学建模思想

1.在数列的教学中渗透建模思想。有较强规律性的数列包括等差数列、等比数列和一些由等差数列和等比数列组合而成的特殊数列。这些数列在现实生活中具有极强的应用性，构建这些数列的模型，就为巧妙解决实际问题提供了依据。

例如：大学生小李每月向自己零存整取账户中存入1000元。5年后，他看中一个创业项目，项目的启动资金需要20万元。问：小李这5年存款的本息一共达到多少元？如果不够20万元他还将向银行贷款多少元？

分析：要知道银行零存整取的年利率和银行利息计算方式是单息还是复息。在求得5年零存整取本金和利息后，才能求出是否需要向银行贷款，以及需要贷款的金额。即，题中所要解决的问题是5年零存整取本息金额和所需贷款金额。

假设银行存贷款利率不随物价波动即为常数，且5年期零存整取的月利率为每期为8‰一个月，按照单利计算。因此，5年零存整取利本息求解模型：每笔款由于存期不同所得本利和不同，按单利计算，1000元每期的利息为1000×8‰=8元，设按本金存入顺序本利和依次为：a1，a2，a3，…，a60，则a1=1000+60×8，a2=1000+59×8，a3=1000+58×8，…a60=1000+8，故｛an｝为公差d=-8的等差数列，实际问题就转化为求等差数列前n项和Sn=■=■=74640（元）

即，小李可以取得本利合计74640元。接着，我们就可以求出他还需向银行贷款金额为：200000（元）-74640（元）=125360（元）。

若在学生能力较好的情况下还可以让学生讨论每期的还款额为多少，如果银行减少贷款数额为10万元时，还要考虑什么因素？

在学习中，我们可以把该建模转换为一般模式――零存整取本息计算模型。即，每期存入等额金p元，每期利率为r，那么n期满后本息金额为：

S=p（1+nr）+p[1+（n-1）r]+…+p（1+r）=pn+■pr

2.在函数教学中渗透建模思想。一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等是我们高中阶段学习的比较重要的几类函数。这些函数在我们的日常生活中应用十分广泛，在教学中从实际生活的例子入手，建立数学模型，解决实际问题，让学生感受函数的重要性。

例：现在古董市场有一幅达・芬奇（1452-1519）的绘画，测得其碳-14的含量为原来的94.1%。根据这个信息，请你从时间上判断这幅画是不是赝品？（已知碳-14半衰期为5730年）

背景的了解：大气中碳-14能跟氧原子结合成二氧化碳。生物存活期间，不断从大气中获取这种放射性碳，死后它就停止吸收，存留在体内的放射性碳也不断减少，并且每年的衰变速度不变，大约经过5730年，它的含量可衰减一半。因此物理学家将5730年作为碳-14的“半衰期”。

题中要解决的问题：从碳-14的含量来判断是否是赝品。

问题分析：要从时间上判断是否是赝品，只要能够计算出该画是在达・芬奇生活的时间段内画的即可。但是题目中没有告诉碳-14每年经过衰减后残留的百分比。因此在解决这道题之前，要先求出每年剩余的碳-14的量。

模型建立与求解：设这幅画的年龄为x，碳-14的每年的残留量的百分比为m，画中原来碳-14含量为l，根据题意，m5730=■，经过开方得：m=（■）5730，则经过x年后碳-14的残留量为：0.941a=a（■）■，消去a后，两边取常用对数，得lg0.941=■lg0.5。解得x=5730×■≈503。因为，2009-503-1452=54，这幅画约在达・芬奇54岁时完成，所以从时间上看不是赝品。考古学家或是从事鉴定工作的人经常使用“放射性碳年代鉴定法”来进行年代鉴定，这在自然科学中有着广泛的应用。

3.在数学期望的教学中渗透建模思想。数学期望是概率统计中随机变量最基本的数学特征之一，是随机变量按概率的加权平均，又称期望或均值，它是简单算术平均的一种推广。生活中，有许多问题可以利用数学期望来解决。下面以求职决策问题作分析。

例如：我校毕业生小张有机会到三家公司工作。他首先要参加公司组织的面试。按照面试时间顺序，这三家公司分别记为A、B、C。每家公司都提供三种待遇不同的职位，职位与工资承诺如下表：

按照规定，小张在公司面试后要立即做出决定接受或拒绝某种职位，且不许毁约。小张根据自己学业成绩和综合素质，认为获得公司三种职位的可能性依次为0.2，0.3和0.4，被拒绝的可能性为0.1。如果小张把工资作为首选条件，那么他在各公司面试时，对公司提供的各种职位应作何种选择？

题中所要解决的问题：在面试时该如何做出最优的决策。

模型建立与求解：由于面试是由A公司开始，小张在选择A公司三种职位时必须考虑后面B、C公司提供的工资待遇，同样在B公司面试后，也必须考虑C公司的待遇。因此我们先从C公司开始讨论。由于C公司的工资的X3期望值为：EX3=4000×0.2+3000×0.3+2500×0.4=2700元。再考虑B公司，由于B公司一般职位工资只有2500元，低于C公司的平均工资，因此甲在面对B公司时，只接受极好和好两种职位，否则去C公司。此决策时甲工资的期望X2为：EX2=3900×0.2+2950×0.3+2700×0.4=3015元。最后考虑A公司只有极好职位工资超过3015，因此甲只接受A公司的极好职位。否则去B公司。

经过上面的分析，小张的面试顺序应该是：先去A公司应聘，若A公司提供极好职位就接受。否则去B公司，若B公司提供极好或好的职位就接受。否则去C公司应聘任一种职位。在这一面试顺序下，小张的工资X的期望值为：EX=3500×0.2+3015×0.8=3112元。

四、结束语

数学建模教学方法既是一种理实一体的教学方法，也是一种“做中学、学中做”的方法。从数学建模活动的本质上看，建模的开始和目标都是为了解决实际生活或生产中的问题，而其解决问题的过程则是一个抽象的理论分析和运算的过程。即，它是一种典型的理实一体教学过程。从数学建模活动的主体上看，学生在建模过程中，一边做（如收集、分类、整理信息）一边学（如归纳、分析），进而学（如尝试建模、解决问题）中做（如验证建模、改进建模等）。数学建模教学方法使得抽象和神秘的数学殿堂变得具体和亲切，使得数学知识变得简单，数学思想变得清晰，更容易被中职学生所接受。

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