教学参考反例有误与答案重建

义务教育课程标准实验教科书华东版数学九年级下册第29章82页习题29.2第5题：

“一组对边相等，一组对角相等的四边形是否一定是平行四边形？如果是，请给出证明、如果不一定是，请举出反例.”

与之配套的《教师用书》数学九年级下册第96页给出的第5题参考答案是：

“不一定. 作ABD，使ABD的三边各不相等，不妨设BD最长，以BD为对称轴作ABD的对称CBD，则在四边形ABCD中，AB=CB，∠A=∠C，但四边形ABCD不是平行四边形.”

我们备课组曾在每周二，第三、四节数学教研活动例会上，对此作一专题进行过研讨，大家一致认为，参考答案中“不一定”正确，但所举“反例”有误，并进行了答案重建.

1 按参考答案作图分析

图1由对称性可知：如图1，AB=CB，∠A=∠C.

而AB=CB是“一组邻边”，这与习题中的题设“一组对边相等”不吻合，理所当然就不能说明习题中的结论了.

2 习题答案重新建构

分类讨论：

问题情景1 在四边形ABCD中，已知AB=CD，∠B=∠D. 求证：四边形ABCD是平行四边形.

证明 如图2，过A点作AEBC交于点E，过C点作CFAD交于点F，并且连结AC.

因为AB=CD，∠B=∠D（已知），而∠AEB=∠CFD=Rt∠（已作）.

所以ABE≌CDF（AAS），所以BE=DF，AE=CF（全等三角形对应边相等）.

又AC为公共边，所以由勾股定理可得EC2=AC2-AE2，AF2=AC2-CF2，所以EC=AF，所以BE+EC=DF+AF，即BC=AD.

又因为AB=CD（已知），所以四边形ABCD为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）.

问题情景2 反例. 如图3，ABC是等腰三角形，E为底边BC上一点，EB》EC，当∠EAC=∠AED，DE=AC时，AED≌EAC（SAS），所以∠D=∠C.

即∠D=∠B，ED=AB（符合题设），但显然四边形ABCD不是平行四边形.

综上所述：答案是不一定，反例为问题情景2.

其实，如果我们利用圆的知识加以刻画本题，将更加深入.

问题情景3 反例. 如图4，在ABCE中，作ACE的外接圆O，再以C为圆心，CE为半径画弧与O交于点D,则∠B=∠E=∠D，AB=CE=CD，但是四边形ABCD并不是平行四边形.

由情景2和情景3可以看出，情景1证明中的问题的症结了，即过C点作AD边的垂线CF，垂足F不一定在线段AD上. 但对情景1的特殊四边形结论是成立的.