海伦公式证明之史海钩沉

海伦公式即三角形面积公式：S=s(s-a)(s-b)(s-c)，其中s=12(a+b+c)，a,b,c是三角形三个边的长，这个公式远在古希腊阿基米德就知道，后由希腊人海伦（Heron）（生于公元前125年）在他的著作《测量术》（metrica）一书的“度量表”章中首先证明了这一公式，还举了求边为13，14，15之三角形面积一例. 在与世隔绝的中国南宋时期（约公元1247年），数学家秦九韶在他的《数书九章》中独创地讨论到它，名为“三斜求积术”，大斜，中斜，小斜分别表示三角形三边，求面积. 把他的结论用现代算式表示是S=14［b2c2-(b2+c2-a2)2)］2，化简后与海伦公式是等价的，故它又被命名为海伦――秦九韶公式.

现行教材对公式没加论证就使用了，本文按照历史的顺序给出关于海伦公式的证明方法，以消除在教学中对公式的疑惑.

1 海伦的证明

海伦（Heron），古希腊数学家，力学家，机械学家，生活于欧几里得（Euclid）之后约350年左右，主要活跃于亚历山大里亚. 海伦注重数学的实际应用，这从他留传下来的著作中可以发现，如《测量术》（metrica），《屈光学》（dioptra）等. 海伦公式出自《测量术》一书，这本书被认为是一本实用的测量手册方面的代表作. 在《测量术》第一卷中，海伦讨论了给定三边长的三角形面积求法，即海伦公式，下面是海伦的证明方法.

如图1，ABC的三边长分别为a,b,c，I为ABC的内心，OD=OE=OF=r为ABC内切圆半径长，令s=a+b+c2，延长BC至H，使CH=AF，则有s=BH，因S=s•r,即S=BH•OD，作CKBC,OKBO，有∠BOK=∠BCK,故B,O,C,K四点共圆，∠CBK=∠3，因圆O内切于ABC，有∠1+∠2+∠4=90°，在BOC中，OKBO，得∠1+∠2+∠3=90°，所以∠CBK=∠4，得OAF∽CBK，BCCK=AFOF=CHOD，又ODBC,CKBC，即OD∥CK，CKOD=CLLD，得BCCH=CKOD=CLLD，由合比性质BHCH=CDLD，BH2CH•BH=CD•BDLD•BD，而OD2=LD•BD，即BH2CH•BH=CD•BDOD2，BH=CH•BH•CD•BDOD2，S=BH•OD=CH•BH•CD•BD，用CH=AF=s-a,BH=s,CD=s-c,BD=s-b代入即得S=s(s-a)(s-b)(s-c).

2 梅文鼎的证明

梅文鼎 (1633-1721) 生于明末，长于清初，27岁时拜师学习天文历法，五年后完成了他的第一部创作，从此开启了对算学的兴趣. 他终其一生致力于中西知识的汇通工作，在融会贯通之际，以自己的见解及理念编写了数十本天文及数学著作，催生了这一时期数学上的兴盛. 康熙14年（1675），梅文鼎完成《平三角举要》一书，是历史上第一本三角学专著. 梅文鼎对海伦公式的证法，并非他所独创. 在明末由耶稣会士罗雅谷撰写，汤若望校订，徐光启督修的《测量全义》第四卷中即已出现，但其证法中出现不足之处. 梅文鼎则是将此证法加以补正修改，略作改良后，编入《平三角举要》，卷４“或问”第12页，证明过程如下.

如图2所示，I为ABC的内心，ID=IE=IF=r为ABC内切圆半径长，则易推出BD=BF,CD=CE,AE=AF. 分别延长AB，AC,取BH=CE,CK=BF，则AK=AH=s为ABC周长之一半，延长AI至G，使GKAK，连结HG，则可推得AHG≌AKG,HG=KG.

取CM=CK，则BM=BH，延长AK至N，使KN=BH，延长AH至P，使HP=CK，则CN=BP=BC，连结CG,BG,NG,PG，则CKG≌PHG,CG=PG，同理NKG≌BHG，NG=BG,因此，NCG≌BPG≌BCG，∠BPG=∠BCG连接MG，又HP=CD=CM,CG=PG故PHG≌CMG，又CKG≌PHG，则CMG≌CKG.

在四边形MCKG,DIEC中，由于四角对应相等，故四边形MCKG,DIEC相似，推得IEC∽CKGIE∶CE=CK∶GK，推得CE•CK=IE•GK(1)，又AKG∽AEIIE∶GK=AE∶AK，推得IE2∶(IE•GK）=AE∶AK(2)，结合(1) (2)可知，IE2∶（CE•CK）=AE∶AK，即r2∶(s-b)(s-c)=(s-a)∶s，推得sr2=(s-a)(s-b)(s-c)s2r2=s(s-a)(s-b)(s-c)，故ABC的面积SABC=sr=s(s-a)(s-b)(s-c)，公式得证.

3 李善兰的证明

李善兰（1811－1882），号秋纫，别号壬叔，浙江海宁人，清代著名数学家，中国数学现代化的先驱. 李善兰自小就展露数学才华，十岁时接触到《九章算术》，此后就对数学发生了极大兴趣.李善兰和伟烈亚力（A . Wylie，1855－1887）合译《几何原本》后九卷，又合译棣莫甘 (De Morgan, 1806－1871) 的《代数学》、罗密士 (E. Loomis, 1811－1899) 的《代微积拾级》. 他还与艾约瑟 (Joseph Edkins) 合译了《圆锥曲线》和《重学》. 李善兰本身也有相当杰出的成就，例如：“尖锥术”、“垛积术”等，其中又以“李善兰恒等式”最为有名.有关海伦公式证明的详细过程，见之于李善兰的《天算或问》.

如图3，I为ABC的内心，ID=IE=IF=r为ABC内切圆半径长，令AE=AF=x，BF=BD=y,CD=CE=z,高AH=h，过I点作AB,BC的平行线，分别交BC于B′,C′. 不难证明ABH∽IB′D,ACH∽IC′D，根据相似三角形的性质和比例的有关性质，可得(AB+BH)∶(IB′+B′D)=h∶r，(AC+CH)∶(IC′+C′D)=h∶r,进而推得（AB+BH）∶(AC+CH)=(IB′+B′D)∶(IC′+C′D)(*)，过I作BC的平行线分别交AB于M，交AC于N. 由∠MBB′=∠IB′D,∠IFM=∠IDB′,IF=ID=r,故IFM∽IDB′，推得IM=IB′，可知四边形BMIB′为菱形，故IB′+BD=BB′+B′D=BD,IC′+C′D=CC′+C′D=CD，再由上述（*）式，(AB+BH)∶(AC+CH)=(IB′+B′D)∶(IC′+C′D)=BD∶CD=y∶z，此式改写为AB+BHy=AC+CHzc+BHy=b+CHz=hr，故可得yz(c+BH)(b+CH)=r2h2（**），又h2=c2-BH2=b2-CH2，推得(c-BH)(c+BH)=(b-CH)(b+CH)，即b+CHc-BH=c+BHb-CH. 接下来李善兰证明b+CHc-BH=c+BHb-CH为一定值. 在他看来，比例式b+CHc-BH=c+BHb-CH的成立具有一般性，不局限在上图所呈现的三角形中. 这样的想法也呈现在他的论证之中，他先举相等情况（b+CH=c+BH）为例，再说明不等情形（b+CH≠c+BH）也会成立，但这样的情形不可能出现在同一个三角形的边长上. 这也说明李善兰虽然采用几何形式论证，但由于他掌握更多三角形边长比例关系的一般性，使得他对于几何图形的使用，不同于海伦和梅文鼎. 有关b+CHc-BH=c+BHb-CH为一定值的证明在这里从略，结论为b+CHc-BH=c+BHb-CH=sx（s=12(a+b+c)），详细的证明请参阅台北《HPM通讯》第九卷第四期.

接下来由sx=b+CHc-BH=(c+BH)(b+CH)(c+BH)(c-BH)=(c+BH)(b+CH)h2，再结合上述（**）式，可得yzr2=(c+BH)(b+CH)h2=sx，推得yzr2=sx，即xyz=sr2，进而推得，(s-a)(s-b)(s-c)=sr2，两边同乘s，得s(s-a)(s-b)(s-c)=s2r2，故S=sr=s(s-a)(s-b)(s-c)，公式得证.

4 《八线备旨》中海伦公式的证明

《八线备旨》是中国清末被教会学校广泛采用的数学教科书之一.《八线备旨》是一部三角学教材，为美国人罗密士 (E. Loomis) 原著，美国传教士潘慎文 (A. P. Parker) 选译，1893年出版. 《八线备旨》共分四卷，内容分别为“平三角形”、“量法”、“测地”与“弧三角形”. 卷一“平三角形”的内容与现今高中教材中的三角函数的理论部分颇为类似；卷二“量法”主要涉及面积与体积的计算；卷三“测地”顾名思义即为三角函数在测量上的应用；卷四“弧三角形”为球面三角及其在航海上的应用. 海伦公式被编排在卷二的第二题，它是有关各种三角形的面积公式之证明.

5 用余弦定理证明

6 结语

从HPM的角度来看，海伦公式可带给我们很多教学上的启发和反思. 首先，给出海伦公式的各种证法，并非是为了给出一个高低差异的评价，而是为了丰富自身的教学内容知识，这也是数学史融入数学教学 (HPM) 重要的功能之一. 试想若非在数学历史文本中找到这些不同版本的证法，或许至今我们仍只知道海伦纯几何形式的证法，或是多数课本采用的代数化的余弦定理证法. 通过分析各个版本证法的特色，可以让教师在教学方法上有所比较，也才能取长补短. 例如，通过分析几何形式与代数形式的证法之不同，可以发现他们各自对于图形的依赖程度也不相同. 当然，在分析海伦公式各个证法的特色时，也不能忽视它们本身存在的局限性. 当我们试图理解某个版本的证法时，就好比与这位数学家进行对话，从而产生自我的“历史诠释”. 此时，我们必须注意数学知识“断代”的面向，必须认识到数学家所身处的环境，以及他本身所拥有的认知特性.

其次，学生最为熟悉的海伦公式证法非余弦定理莫属，它是纯粹的代数运算，而历史上的证明方法大多都是几何证法，这对习惯代数运算与解析几何的学生来说，学习起来有一定的难度. 但海伦公式所处理的是几何图形面积的计算，余弦定理的证法则是充份展现了符号代数的威力，其间所隐含之几何与代数表征的连结，恰好是可以在数学教学中培养学生数学表征连结能力的极好范例. 学生由此也可以知道，引入三角学的余弦定律，究竟替代了多少综合几何里的命题、方法与技巧.

再次，历史上的海伦公式证法还使我们认识到该如何呈现定理及其证明，以便可以兼顾到各个面向. 在教学中若以历史文本为师，适时引入古人原始的想法，撷取前人的智慧，乃至于前人所犯的错误，相信对于数学思想的发展与学生的学习过程能有更贴近的牟合，也能让学生对数学有更全面的观照. HPM所追求的目标之一正是让学生在通过历史文本解决问题的过程中获得学习的乐趣. 因此，数学文本中的任何地方，可能都有意想不到的金矿等待挖掘，唯有辛勤发掘才可能使我们满载而归.

最后，我们知道海伦公式又被称为海伦――秦九韶公式，这是因为秦九韶独立给出了与海伦公式等价的“三斜求积术”. 通过海伦公式的中西比较可知，希腊人运用平面几何知识证明海伦公式，而秦九韶只给出公式并代入求解具体问题. 可见数学问题的展现离不开社会文化的历史脉络，也与民族特性相关. 中国的数学与古希腊数学演绎的逻辑推理不同，因为中算家不拘一格地采用各种形式的推理方法，使中国数学成为一种从实际问题出发，经过分析提高而概括出一般原则和方法，以求最终解决一大类问题的体系. 针对一个已知三角形三边长求其面积的问题，由于解题形式的不同，让我们看到了在数学知识呈现的背后蕴藏了深刻的文化意涵，这又岂是纯粹背诵海伦公式所能体会出的呢？

参考文献

［1］ John Fauvel. Maanen J.Van. History in the Mathematics Education［M］. Dordrecht: Kluwer Acadejic Publishers, 2000.

［2］ 沈康身.历史数学名题赏析［M］.上海：上海教育出版社，2002.

［3］ 海伦公式专辑.台北HPM通讯［J］.2006,9(4).作者简介：刘超，山东胶州人，1982年9月生，讲师，研究方向为数学教育，数学史.