立足发展 引导探究

新的课程标准指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿和记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方法.”教师应“帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验.”这是新的教学理念在撞击传统教学的教与学的方式，给传统的初中数学教学注入了新的活力.探究作为新的课程理念下学习的方式，有待教师的执意引导，进而慢慢内化为学生的自主行为，变被动接纳为主动获取.因此，我们要努力捕捉教材中的良好素材，在平时教学中善于诱使学生探究，让学生通过探究去领略成功的喜悦、感受失败的惨痛，获取真实的情感体验，逐步提高自己的综合素养.鉴于以上认识，笔者积极参与了全国十五规划重点课题《通过学科教学，培养学生的综合能力》的研究，主持的子课题《树立探究理念，培养综合能力》已于2007年1月通过山东省教研室验收结题，并获滨州市第九届自然科学成果三等奖，现正在做后续研究工作. 以下是笔者的教学个案，恳请交流.

教学内容 人教新课标版八年级上册第61页的活动三(拟定本节为§12.3.1的第二课时) .

材料准备 每人分发如图1的三角形纸片5个.

1 展示图形，开怀畅谈

师：如图1，由这一图形，我们想到了什么?

生1：它是等腰三角形；

生2：它的两个底角相等；

生3：承上，它的“三线合一”；

生4：它是轴对称图形；

生5：象五角星的一个角，是中华人民共和国国徽标志的一部分，我看到它有一种自豪的感觉；

生6：象一座山峰，象征着我们要攀登科学高峰，必须打下宽厚的基础；

生7：象一顶帽子；

生8：象警犬的耳朵；

生9：象运载火箭头，载着“神州5号”直冲天穹，实现了我们中国人的飞天梦想，向世界展现了我国高科技发展又攀上了一个新的高峰；

……

师：(点评)前四个同学从数学知识的角度展开了联想，这是非常可贵的，也说明了同学们对图形已经有了一定的敏感度，其他同学敢于转换视角，能从生活中捕捉住相关点，展开想象的翅膀，谈的非常好!特别是有的同学把它喻为科学的颠峰、“神州五号”的载体，视为国家的标志，寓意深刻 ，充分昭示了同学们丰富的想象力.的确，作为中学生，应象这一三角形的底一样，只有打下宽厚的稳固的双基，才会有尖端的科技领先世界，为国争光，我期待着我们当中会有人能摘取科学的桂冠. 接下来请同学们在这个三角形的基础上，添一些有关的线，仔细观察、大胆猜想.

2 相关添线，放飞思维

(鼓励学生敢于设想，互相讨论、交流，大胆发言)

生：(纷纷动手，综合得以下 )

(1)添底上的高线(中线或角分线)

(2)添两腰上的角平分线 ；

(3)添两腰上的高线；

(4)添两腰上的中线；

(5)添与顶角相邻的外角的平分线；

(6)添与底角相邻的两个外角的平分线

……

师：从以上添线再次透视出同学们丰富的想象潜能，可喜可贺!其中的(1)已经研究过，剩下的部分请同学们归归类.

生：(讨论完成，达成共识)(2)、(3)、(4)可归为一类；(5)、(6)可归为一类｡

师：(捕捉相关信息，确立学习内容)本节研究(2)、(3)、(4)，(5)、(6)将另立节研究.

3 猜想搭“台”，逻辑唱“戏”

组织学生拿出自己手中的纸片，通过折叠找出两个底角的角平分线(由于学生早有折纸的经验，估计能完成，若不能完成，则需教师引导学生将底边与腰重合在一起即可，实践证明学生能完成)，画出两个底角的角平分线，从画图的过程，同学们能否感觉到两腰上的角平分线在数量上有无关系?

生(全体)：有，它们能相等.

师：好!我们从直观上看是相等的，但直觉发现的东西只能是猜想，能证明我们的猜想吗?

生(全体)：能.

(两生板演，其他在台下完成.综合板演与台下，可得如下证法)

师：(总结归纳)

图2已知：如图2，ABC，AB=AC，BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线.

求证：BD=CE.

证明 (1)因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB，

因为∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB，所以∠1=∠2.

在DBC 与ECB 中∠1=∠2，

BC=CB，

∠ABC=∠ACB

所以DBC≌ECB(ASA)，所以BD=CE.

(2)可借助公共角证ADB≌AEC，而得BD=CE.

师：请同学们再通过折叠感受并认真观察，两腰上的高线呢?中线呢?

生(全体动手折纸，作出猜想)：在数量上也是相等的.

师：那我们又得到两个猜想，请同学们继续证明我们的猜想.(分全体为8个组，每组6人，1、3、5组和2、4、6组分别证明高线、中线，每组找一个代表上台板演)

生：(由于思路与以上证明大同小异，均有两种方法，因此完成比较顺利，过程略)

师：对于两腰上的高线的证明，请同学们再思考，看能否还有其它的路径?

生：(沉于思考之中，似有为难之色)

师：(捕住契机，略施点拨)条件中出现了高线，我们往往会想到什么?

(循循诱导，促其醒悟)

生：(部分)可以想到面积公式.

师：(喜形于色)非常好!我们一块试一下好吗?

因为SABC=12AB・CE=12AC・BD，又 AB=AC，所以CE=BD.

(接着问)同学们感觉如何?

生：太简单了!(全体一片嘘唏声，惊奇中充满喜悦)

师：(点评)同学们都感觉到了这一方法的绝妙.只要我们用的恰到好处，这一方法就会熠熠生辉，这就是著名(加重语气)的“面积法”. 接下来，我们再看一个问题.

对于图2，当点B、C分别以相同的速度向前移动时，保持BDAC、CEAB不变，设B、C的某一状态分别为B0、C0，结论还成立吗?

生：(异口同声)成立.如图3，由于B0C=C0B，因此可得DB0C≌EC0B，进而得知.

师：很显然肯定有一时刻点B0、C0重合，设此点为 M，此点即为BC的中点，此时还成立吗?

生：仍然成立. 证明同上思路.

(一少部分)可用“面积法”证明.如图4，过程如下：

连结AM，因为 M为BC的中点(BM=CM)，AB=AC，所以 AM是BC上的高，

则 SABM=12MB・AM、SACM=12MC・AM，

所以SABM=SACM，

又 SABM=12AB・EM、SACM=12AC・DM，

即12AB・EM=12AC・DM，所以EM=DM.

师：其他同学能用这一方法吗?

生：(全体)能用，若不信，请老师再来一个试试.

(学生已经有了急切“用武”的愿望，正值于“愤、悱”状态，借势乘胜追击)

4 再度探究，拾级而上

师：若M点是BC上任一点，刚才的结论还一定成立吗?

生：不一定.

师：那MD、ME会有怎样的关系呢?

生：(全体，苦思冥想，沉默不语)

师：(因势利导)同学们可以试想，既然M为BC上任一点，能否与B(或C)重合?

生：可以啊!

师：此时的图形会是怎样的?

生：(急于动手，不一会，就有同学轻声自语)

有一条不见了……

呵，两条成为一条了……(此时，同学们都有了这种感觉)

师：(点化)至此，我们可以发现它们的和就是……

生：(异口同声)一腰上的高

师：棒极了!我们又得到一个新发现，从这一发现的历程我们可以感觉到，有些结论的探求是历经一番周折的.实际上，有些发现需要经过千难万险，甚至耗费毕生的精力，但科学家们却把它当作家常便饭.

刚才我们就是效仿数学家，沿着从特殊到一般的认知轨道，操作――实验――猜测，完成了一个探索发现的轮回. 但现在仅是一个猜想，同学们能证明吗?

生：能，用“面积法”(群情激昂，纷争上台)

师：(限于时间，不再安排板演，师生共做)

图5如图5，连结 AM，过 C 做 CHAB，

因为SABC=SABM+SACM，

又SABC=12AB・CH、SABM=12AB・EM、SACM=12AC・DM，

所以12AB・CH=12AB・EM +12AC・DM， 因为AB=AC，所以CH=EM+DM.

5 点睛激励，暗留玄机

(点评并留疑)通过以上题目的解决，我们再次体验了成功的乐趣，我也再次目睹了同学们的出色表现、真切触摸到同学们的丰厚底蕴. “路漫漫其修远兮，吾将上下而求索”，的确，探索是无止境的，上面的问题是点M在BC边上，若 M在BC 外呢?即M在三角形内、三角形外时，是否有更美妙的结论呢?请同学们课后以小组形式继续探究，分组写出探究报告，老师期待下一节课的精彩.

6 教后反思

6.1 猜想、证明谁主沉浮

新理念强调几何要立足丰富的图形世界，了解我们的生活空间，但我们最终还是要培养起逻辑推理的能力；新理念提倡观察、操作，但最终还是要形成空间观念，培养起一种想象力；新理念注重直觉、猜想，降低证明的要求，但又必须让学生认识证明的必要性……如此种种的矛盾仍在困扰着我们，正缘于此所产生的困惑，才使得我们有了更多的思考，有了大胆的践行，“让我们教猜想吧!”这是国际数学大师波利亚的呼唤，是基于几何过于偏重理性证明的说辞，用中庸的观点来看，观察、试验、猜想、证明一个也不能少，任何偏执的举动都将是背离课改初衷的.

6.2 过程、结果孰轻孰重

新一轮课改实施至今，课堂呈现出前所未有的“繁荣景观”：情景创设“千姿百态”、合作交流“百家争鸣”、探究活动“百花齐放”、生活数学“花样百出”、教学评价“百般呵护”……诸如此类，“百舸争流”，热潮涌动出的这些“创举”均有“新理念”的后盾支撑，被看作“新理念”的生动演绎｡可透过“繁荣”，冷观“热点”，还有许多值得我们深思的东西，其中，过程与结果的纷争即为其一.新课程标准强调过程性目标，将其摆在了前所未有的高度，强调学生探索新知的经历和获得新知的体验，这是非常必要的，但强调过程，并不是任过程洋洋洒洒，信马由缰，弃结论于不顾，相反，我们需要“结论”这一价值取向的引领.让学生理解与掌握具有统一性的正确结论是课堂教学的重要目的之一，这是学生得以持续发展的基础.重过程的目的 是为了获取更好的结果而不是不要结果，只重过程而漠视结论的教学会在无形中使课堂的实效性大打折扣. 过程与结论的和谐，才能使得教学既有血肉又有灵魂. 斯托利亚尔的一句话值得我们深思：“数学教学是数学活动(思维活动)的教学，而不仅仅是数学活动的结果――数学知识的教学.”

6.3 探究、接受何去何从

谈到学生的学习方式，从中国的春秋战国时代和希腊的经院时代以来，林林总总，各具特色. 应该说，不同的学习方式之间的关系是互补的，他们的功能也是此消彼长的，没有十全十美的学习方式. “没有最好，只有更好”，在新的条件下，总会产生更好的学习方式，将任何一种极端地夸大，去取代其他方式，是形而上学的观点.

现行课程改革视接受学习为弊帚，一味地追求所谓的“探究”，即是偏颇的表露｡有的甚至将探究性学习与接受学习分别视为“意义学习”与“无意义学习”更是荒唐滑稽｡教育学家奥苏贝尔指出，只要用于呈现的语言材料能够同学生的原有知识结构或认知结构建立实质性和非人为的联系，并且学生具有内部学习动机和意义学习的心向，接受性学习也完全可以产生有意义的过程或结果；接受性学习和探究性学习与“意义学习”和“无意义学习”涉及到的维度是不同的，它们彼此独立、互不依存｡传统的接受性学习，能在较短时间内，把人类公认的成果有序地传授给学生，这对于有限的学制来说具有一定的现实意义，其效率之高是其他学习方式所无法比拟的. 其缺点是忽视了成果的发现过程，忽视了过程的绚丽多彩，以及由此携带的启迪与教育价值｡而探究性学习弥补了接受性学习缺点的不足，确实在积累直接经验、培养学生的创新精神和实践能力方面有着不菲的价值.

今天强调探究，只是想找回它在教学中应有的位置，而并非贬低其它，并非“一鸟入林，百鸟息声”｡它们不可或缺，搞二元对立是要不得的｡只有在实际教学中，取长补短，合理安置，整合优化，强强联手，才能发挥各自的优势，绿色的生态课堂才会生成.

参考文献

[1] 邢成云.“平衡”营造和谐课堂[J].当代教育科学，2007，(17).

[2] 渤海风.“节外生枝”的精彩，期待教师的引领[J].中学数学教学参考(初中)，2007，9.

作者简介 邢成云，男，中学高级教师，无棣县首批名师、市学科带头人、省教学能手、市青年科技奖、省优秀教师、省师德标兵、全国教科研先进个人、2004年首届中国教育家大会代表. 主要研究方向：课堂教学研究、中考研究和竞赛研究. 近年来，在省级以上专业期刊100余篇，有3篇被中国人大报刊资料中心期刊《中学数学教与学》全文转摘，3文索引，参编多部书籍，现主持的全国教育科学“十五”规划课题《学科教学中培养学生综合能力的研究》之子课题《树立探究理念，培养综合能力》已通过山东省教研室顺利结题，并评为滨州市第九届自然科学优秀成果三等奖 . 成果与名字被收入《中国当代数学家与数学英才大辞典》中.

“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”