培养计算技能需重视“过程”

很多教师在计算教学时存在只重视算理，忽视算法抽象过程，只重视计算结果，忽视对错误原因的探究，只重视解决问题的训练，忽视计算价值的体验等等误区，这是只重视结果，却忽视过程的教学。其实计算教学和其他的教学块一样，有很多我们需要精加工部分，在计算的学习和练习过程中有很多环节需要我们加以重视和控制。

一、从算理到算法，建构意义

有些教师认为学习计算，教师讲明算理后只要学生通过反复练习，学会怎么算，掌握计算的程序就是达到了计算教学的目标，忽视算理直观到算法抽象的过程，这样的理解是片面和狭隘的，不利于学生计算技能的形成和数学知识网络的自主建构。

以著名特级教师徐斌所上的苏教版教材第四册《两位数乘一位数》为例（图1）：

图1

当学生说出要求两只猴子一共采了多少个桃子的算式后，教师直接提问：“这道题应当怎样算呢？同桌之间可以商量一下。”学生讨论完以后让学生说说是怎样想出结果的。

生：我是用乘法来算的，10乘2等于20，4乘2等于8，20加8等于28。

师：（指着屏幕）刚才有位同学说4乘2等于8，其实就是指哪一部分啊？

生：是图上右边框里的8个桃。

师：那计算左边两个框里的桃子就是算什么呢？

生：10乘2等于20。

师：刚才我们先算了个位上的，再算了十位上的，接下来该怎么办呢？

生：相加。

接下来教师根据刚才的计算思路逐步板书如下竖式。

然后让学生用竖式计算13×2，11×7，32×3，并列出如下算式：

师：大家来看黑板上的竖式，这些算式有什么共同的地方？

生：第一次乘下来都得一位数，第二次乘下来都得两位数。

生：我发现第二次乘下来都得整十数。

生：我发现得数个位上的数就是第一次乘得的数，十位上的数就是第二次乘得的数。

师：大家观察都很仔细，那么你觉得像这样写怎么样？

生：比较清楚。

生：清楚是清楚，不过有点繁，有些好像是不要写两次的。

师：是啊，要是能简单些就好了。

生：其实这些竖式里都是个位加0，十位上的数就不加，还是他自己，这个0就不用写了。

师：噢，你的想法挺好，大家听明白了吗，一起来看。师边说计算过程边如下板书。是不是简单了？大家以后列竖式时就可以选择简单的写法。刚才写的三道算式你们能不能改成简单的写法。

这个片段中，从算理到算法有两个核心过程值得我们学习。

核心过程一：教师通过“刚才有位同学说4乘2等于8，其实就是指哪一部分啊”和“左边两个框里的桃子就是算什么呢”这两个设问巧妙地将竖式和主题图联系起来，数形对应，使学生很直观地理解算理，初步建立竖式计算的模型。

核心过程二：教师结合主题图列出竖式后，没有急于推出这个竖式的简化写法，而是让学生用这个看似笨拙的竖式方法计算三个题，再对三个题进行比较，同时适时引导“这些算式有什么共同的地方”，“你觉得这样写怎么样”等几个问题把学生的思维引向“化繁为简”。这正是老师的高明之处，当原始竖式计算时，学生还在形象的主题图中流连，此时需要帮助学生在生动的主题图和抽象的简化算式之间架一座桥梁，这座桥梁就是被徐老师精描细绘的没有简化的竖式，这样的处理符合学生从动作思维到形象思维再到抽象思维的心理学规律。

计算算法的抽象性决定了教师在进行计算教学时必须把知识组织成有意义的命题，抓住新旧知识之间的生长点，让学生经历计算知识的产生，发生，发展过程，才有利于学生实现知识结构重组，从而帮助学生从意义上理解知识。

数学技能学习初始阶段属于概念学习，是学生对技能是什么的学习，是认知思维过程，所以对于计算技能的习得首先是对数学知识的理解，需要让学生完整经历从算理理解到算法抽象的过程，这个过程不应该是飞越过程，而应该是一个自然衔接的过程。徐斌老师正是通过细腻的教学设计，在算理的直观和算法的抽象之间让学生充分体验，感悟，使学生知其然更知其所以然，促进学生对知识的意义建构。

二、细化练习过程，形成技能

“数学技能是指通过练习而形成的，顺利完成数学活动的一种动作方式，往往表现为完成数学任务所需要的动作协调和自动化[1]”。重视基本技能一直是我国数学教学的特色，形成基本技能也是新课标中学生数学学习的主要目标之一。学生计算技能的习得不是机械重复的训练，而应当是遵循基本的心理学规律和学生的身心发展特点的，有逻辑的，有层次的，有具体目标的，高效的训练。

1.课前重点铺垫。以苏教版教材第五册《三位数乘一位数竖式计算》为例，教学实践中我们发现学生计算时的常见错误是先乘后加时出错。如下面算式所示：

“乘加”环节出错妨碍了学生的技能形成的准确性。显然在明确算法基础上进行适量合理的练习是必要的，但是如果此处进行重复的竖式练习既不能有重点地解决问题，也增加了学生的负担。所以在教学这个单元的知识之前，我们先行对学生进行了乘加的口算练习。乘加口算练习在教材中没有单独列为计算要求，但不等于就不需要练习。列举了计算中会出现的有进位的乘加口算，进行专项的练习后，学生在计算三位数乘一位数的竖式计算的正确率和速度明显提高。

小学阶段的计算知识中还有如两位数除以一位数的竖式计算，如果先行进行表内有余数的除法口算练习，对提高学生试商的正确率有很大帮助，再如学习三位数除以两位数时，如果先掌握了百以内的两位数乘一位数乘法，可以明显提高学生的正确率和速度。

2.课中难点聚焦。以苏教版教材二年级退位减竖式计算为例。众所周知，隔位退位减是教学减法的难点，为什么学生在计算的时候这么难呢？是因为抽象化的算法和形象化的拨珠动作之间学生难以跨越。是不是每个步骤都这么难呢？仔细分析学生的做题过程不难发现，其实难点就在三位数减一位数的隔位退位减。教学中针对这个难点展开专项练习，必将取得事半功倍的效果。一位教师是这样上的：

师：在计数器上你会拨出402吗？

生：会！（在计数器上拨出402。）

师：会拨出402-3的计算过程吗？我们一起来试一试。（师生共同拨珠，同时多媒体展示过程。这个过程中，学生在老师的步步引领下自然地说出个位不够，向十位借一，可是十位也没有就向百位借一，就在十位上拨10，再从十位上拨去一，在个位上拨10个珠，最后从个位上去掉3。）

师：真不错。再来一个。在计数器上一边拨一边说一说201―4的计算过程。

学生独立进行计算。

师：我这里还有一个，不知你还能不能做。

生饶有兴趣地回答：能！

杨老师出示：1000―3，并请生上来板演。

生：板演并口述过程。

板演的学生一边说一边拨的过程，很自然地引起学生的共鸣，很多学生跟着一起说：个位上0减3不够减，从十位退，十位没有，从百位退，百位还是没有，从千位退；千位退给百位，百位退给十位，十位退给个位……学生能很快地把这个过程拨出来，说出来。

这个片段中教师在难点处聚焦，通过专项的拨珠练习，数形结合，帮助学生在难点处形成清晰的表象，借助表象把外部的动作转化为内部的思考过程，促进计算技能的形成。

《标准》对计算技能提出了具体的可量化目标。笔者这里所谈的训练方法并不是要拔高对学生计算的要求，是把一个知识块分解成若干个环节或步骤，放大关键性的细节，有目标地通过对某项计算知识的各个节点的专项训练，帮助学生拾阶而上，提高计算的准确性和速度，逐步达到计算技能的自动化，也使学生学得有条理，学得轻松。教师在教学过程中只有抓住了教学的重点和难点，把握住了学生技能形成的规律，才能避免教学资源的浪费，达到培养技能的目标。

三、重视改错辨析过程，积累经验

学生在计算时会犯一些常见的错误，教材针对这些问题安排了多个改错题，这些题对于学生掌握计算规则，积累计算经验有着重要作用，教学这些错题时“改”不是目的，目的在于教师要通过分析算理，明晰算法帮助学生找到错误的根本原因，从意义上理解计算知识，积累计算经验，从而提高技能。一位教师对于错题的教学过程值得推荐。以两位数乘一位数的口算为例：

师：13×4到底等于42，还是等于52呢？看来有不同意见了，下面我们来讨论一下：（1）算出13×4的准确得数；（2）猜一猜算错的人是怎么想的；（3）怎样避免再次发生这样的错误。

学生通过竖式计算，发现得数是52。

师：你知道算错的同时是怎么想的吗？

生：我想他们是计算3乘4的时候没有进位，用1乘4等于4，没有加进上来的1，所以得数就等于42了。

师：那我们以后怎么避免自己忘记进位呢？

生：我们可以在十位上写一个小小的1，做为记号以后就不会算错了。

生：老师，我想他们在计算的时候是算成了14乘3了，14乘3就是42，可是13乘4却是52。

师：嗯，有道理。像这样会错的题还有吗？

经过思考学生说出了14×5和15×4，16×5和15×6，24×5和25×4，14×6和16×4等等题，教师也都一一板书・・・・・・

在这个片段中，教师面对学生的错误，不是一改了之，而有明确的指导目标，通过“猜猜做错的同学是怎么想的”帮助学生暴露错误，找到错误的根源，通过“怎么避免这样的错误”引导学生在更高层次上思考以后避免这种错误的根本办法，一个简单的错题改正从个别问题上升为共性问题，使学生积累了学习经验，提升了学生思维。在这个改错的过程中教师没有越俎代庖，只是在适当时候适时点拨，把舞台留给了学生，放开了学生的思维，才有了多元的思考，不同的见地。

教师在教学活动中应当引导学生充分开展自主的、独立的活动，建立顺利完成某种数学活动所必须的活动方式或心智活动方式的亲身体验，并且尽量让学生自己进行概括，以丰富学生的学习体验过程，促进学生自主地完善自己的知识系统，提升技能。

四、体验估算过程，活学活用

《标准》在第一学段和第二学段的总要求分别提出了“加强估算”，数学学科中的运算已经由过去只注重笔算拓展到笔算、口算、估算并重。事实上实际生活中估算比精确计算有更广的应用范围。教材中教学计算的例题和习题里都有明确的估算要求。

估算的教学和其余计算的教学不同之处在于，估算没有独立的章节和课时，而是嵌入其他教学环节中，这不是把估算的地位摆在精确计算之后，而是体现了估算对于矫正计算结果，探索计算方法，解决实际问题的重要作用。随着新课程改革的深入，估算教学在课堂里已经越来越被老师们所重视，但是也应当看到学生们学习了估算，在实际解决问题过程中却很少使用估算。分析其原因，一是教材中的估算习题大多是指令性的，对估算的评价方式单一，是为估算而估算，没有激发起学生的估算的内在需求；二是进行的估算练习较少，除了教材上出现，在试卷上和习题中一般难觅踪迹；三是学生自学习计算以来已经习惯了精确计算，估算知识还没有被学生纳入自己的计算系统中。针对这样的情况，教师在教学估算知识时就不能孤立地教，应以具体问题为载体，注意和实际问题相结合；针对不同问题进行不同估算方法的指导；创新估算习题的设计；既重视明确估算题的教学，更注重估算意识的渗透；评价时不仅重视估算方法的掌握，也重视估算意识的形成。笔者认为以下的两点做法在促进学生估算意识的形成有明显的作用。

1.发掘教材习题中的估算价值，拓展思维。例如苏教版第八册教材有这样的习题：

这一题是《用商不变的规律进行简便计算》想想做做的改错题，学生观察竖式之后大多能发现这样的计算是错误的，教师此时可以追问一句：“不看竖式，有谁看出这题算错了吗？”来启发学生用估算的方法判断，感受估算对检验结果的作用。教师在教学中不可囿于教材的安排，如果能在平时的教学中发掘习题的估算价值，注重估算意识的渗透，引导学生从多个角度思考，长此以往可以使学生面对类似的问题时更主动地进行估算，使思维更趋开放和灵活。

2.重视间接经验，积极评价。不可否认我们的学生中总有一些思维活跃，能力较强的孩子，这些孩子往往也具有灵活使用估算方法解决问题的能力。对于这样的孩子我们应当表示出赞赏和鼓励，并把他们的解题经历展示给其余学生，通过积极的评价引导，强化学生对估算的认同。

教学三位数乘一位数有这样一题：小丽家到少年宫路程有1千米，她骑自行车从家去少年宫，每分钟行170米，7分钟能到少年宫吗？在学生们正埋头计算时，我发现一个孩子没有动笔，就把手举了起来，询问之后知道他用了估算的方法较快知道了答案。在反馈的时候我有意先让那个孩子来说说自己的想法：“170乘7，如果100乘7就是700，离1000还差300米，70乘7等于490，已经超过了300，所以我知道他能到少年宫的。”这是多么有价值的思考方法啊，我对他进行了浓墨重彩的点评，这样的例子在课堂中应该不少，教师有意把估算方法摆在重要的位置上，让其余学生间接经历估算过程，在此过程中体会估算的价值，久而久之，估算必能在学生的思维中扎根。

学会估算是技能形成的认知阶段，会灵活进行估算是技能的自动化阶段，从学会方法到灵活使用方法，需要教师引领学生经历估算过程，体验估算价值，积累估算经验。所以学生的估算意识和估算能力的培养不是一朝一夕能完成的，要成为一线教师的长期教学目标。由于学生认知发展水平的限制，要使学生形成估算的技能，需要教师有估算教学的意识，并有方法地启发与引导才能使学生熟练掌握估算技能，自觉运用估算解决问题。

学生计算技能的习得不是通过单一的机械重复训练就能在内部自动形成的，心理学的理论告诉我们技能的习得必须经历认知阶段、练习阶段、自动化阶段。在这个过程中教师的引导作用不容忽视。教师必须理解学生学习的心理过程和数学知识是内在逻辑规律，给学生提供多样化的活动方式，让学生经历计算知识发生发展过程，主动操作，积极实践，自我总结，从而培养计算能力，并从中学会数学地思考，感受数学的价值。

参考文献：

[1]曹才翰.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2006.

（单敏、陈涛，宜兴市陶城实验小学，214200）