改进例题教学一例

【摘要】 通过改进例题教学，不仅培养了探究兴趣，而且也受到了如何将实际问题转化、抽象为数学问题的训练，从而消除了学生畏惧实际应用问题的心理，把数学知识运用到生活实际中去。这种例题教学方法的运用，有利于促进创造思索的培养，提高例题教学的质量。

【关键词】

改进例题教学是数学新授课的当务之急，也是适应新课改的首要任务，例题教学不应单纯由转师传授知识和经验，同时应培养学生的探究和应用的兴趣。本文以“圆的标准方程”教学设计为例，谈谈改进例题教学，提高学生学习兴趣的体会。

1 从特殊到一般，培养探究兴趣

例1、已知点M与两个定点O(0，0)所距离的比为12，求点M的轨迹方程.(人教A版数学必修②P135B组3)

解：设点(x，y).

由题意可得：x2+y2(x-3)2+y2=12

化简整理得：(x+1)2+y2=4

点M的轨迹方程为(x+1)2+y2=4.

在进述该例之后，联系＂到定点的距离等于定长的动点轨迹是圆＂的定义和本例的结果，提出问题：圆的轨迹定义是否还有其它形式?在同学们难以回答的情况下，我再提示：以此题为基础，改动其中的某些数值，编出一道新题，其结果如何?如将两点改为A(1，1)，B(-1，2)，则由(x-1)2+(y-1)2(x+1)2+(y+2)2，化简得(x-53)2+(y-23)2=209 .同学们奇怪地发现，方程表示的曲解仍是圆!

受此启发，有人提出：若改动比值，结果又将如何?我鼓励同学不妨一试.有位同学将比值改为32后，得到曲解方程为(x-135)2+(y-15)2=365 ，还是圆的方程!

这时，进一步提出更一般的问题：

例2、已知点M(x，y)与两个定点M1，M2距离的比是一个正数m，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么圆形(考虑m≠1，m=1两种情形).(人教版必修②P156B组2)

解：以线段M1，M2的中点为原点，直线M1，M2为x轴，建立直角坐标系，设M1(-α，0)M2(α，0)，M(x，y)，其中α>0.

由题意得：(x+α)2+y2(x-α)2+y2=m，

化简整理得(1-m2)x2+(1-m2)y2+2α(1+m2)x=α2(m2-1)：

当m≠1时，方程变形为：[x+α(1+m2)1-m2]2+y2=(2αm1-m2)2，此方程表示圆心在(α(1+m2)m2-1，0)，半径是|2αm1-m2|的圆.

当m=1时，点M在线段M1M2的垂直平分线上，方程为x=0，

即y轴.

通过上述例题的逐步演化，不仅引起同学的学习兴趣，而且激发他们不断探索，力求进取和完善的学习精神.

2 挖掘教材内涵，培养应用兴趣.

若对例1进一步挖掘，还可以找出其生活中的原型。

例3、有一种高品，A、B两地都有出售，两地的售价相同，但某地区的居民从两地往回运时，每单位距离A地运费是B地的2倍.已知A、B两地距离3公里，顾客购买这种商品，选择从A或B地购买的标准是，包括运费在内的总费用比较便宜，求A、B两地售货区域的分界线的轨迹图形，及居民选择A或B购货的区域。

求题的求解模型较多，其中之一是以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，解答过程同例1.在圆围上的居民到两地购买总费用相同，圆围内居民到A地购货合算，而圆周外的居民到B地购货合算。

上述的例题教学，不仅培养了探究兴趣，而且也受到了如何将实际问题转化、抽象为数学问题的训练，从而消除了学生畏惧实际应用问题的心理，把数学知识运用到生活实际中去。这种例题教学方法的运用，有利于促进创造思索的培养，提高例题教学的质量。

收稿日期：2008-002-03

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