“归一法”――学生自己的学习法

【摘要】 “归一法”就是用较小的数字、较少的变量、较简单的图形，用合理的推理来解决数学问题的一种方法，学会了“归一法”，对于解决数学问题就能找到一条正确的思路，特别对于学生的主动学习有很大的帮助。

【关键词】 数学；“归一法”；规则；特点

教，要有一个原则；学，要有一个方法。教师要教学生学会学习，如果能使学生学会一种方法，从而激发学生学习的兴趣，主动地学习，这样有利于学生素质的提高，对学生的一生都有帮助。

现实世界中有很多问题需要人们去解决，然而有些问题可以转化为数学问题，如何教会学生去解决数学问题是非常重要的。

数学学科是一门基础学科，它的分支很多，解决问题的方法也很多，学生要学会用各种不同的方法去解决各种不同的问题。能不能提出一种方法，这种方法既好记、好用，又能找到解决问题的思路，从而迅速、正确地解决实际问题呢?通过长期的教学实践，笔者设想了一种方法，把它称为“归一法”，这种方法好记、好用，能解决很多实际问题。

教师使用归一法，好教；学生使用归一法，好学。教师、学生同用归一法，教学互动，更能够提高教学质量，提高能力，提高素质。

1 为什么要提出一种方法

学生进入初中以后，接触到的数学知识增多了，并且知道了数学学科有代数、几何，到了高中还有要求更高的代数、三角、立体几何、解析几何和微积分，这么多的知识能学好吗?各种不同的分支，各种不同的问题要用各种不同的方法解决，能行吗?如果一开始就提出学好数学只要学会一种方法就行了，并说明这种方法能解决很多各种不同的问题，这样可以在学生心理上产生一种学好数学的自信性，所以提出一种方法是有好处的。

2 什么是“归一法”

数学的实际问题很多，首先要把解决的问题归结到一种类型的问题。在具体解决问题中会接触到一些数字、变量和图形，解决问题还要进行推理，还要有一种思路。“归一法”就是用较小的数字、较少的变量、较简单的图形，用合理的推理来解决数学问题的一种方法，学会了“归一法”，对于解决数学问题就能找到一条正确的思路，特别对于学生的主动学习有很大的帮助。

3 “归一法”的规则

在解决具体数学问题中，可以运用的“归一法”的具体规则如下：

“宁小不大”、“宁少不多”、“宁同不异”、“宁直不间”、“宁简不繁”。

说明：如果在解决具体问题中出现了矛盾，以宁简不繁为主。

4 “归一法”的特点

4.1 顺口好记，且有开放性，规则部分，遇到具体的数学问题时，可以根据相对性原理自行添加，如：“宁正不负”、“宁加不减”、“宁单不复”、“宁清不混”等；

4.2 掌握的技巧是学会“转化”，如：把“大”转化为“小”，把“多”转化为“少”，把“异”转化为“同”等。

4.3 容易找到解题思路，便于检验找错，使学生学会迅速、合理、正确地解题。

4.4 可运用于数学和其他学科，学生学会了“归一法”，对总体素质的提高有很大的帮助。

5 “归一法”的运用举例

例1、当x>0时，求函数f(x)=2x+8x2的单调区间。

解：f(x)=2x+8x2=x+x8x2≥33x・x・8x2=338=6

当x=8x2，即x=2时，函数有最小值6，

当0

说明：本题根据“宁小不大”的规则，把(0，∞)的范围分成两个部分，通过讨论来解的。

例2、已知：limn∞(2αn+bn)=1，limn∞(αn-2bn)=1 ，求：limn∞αnbn。

解：limn∞(2αn+bn)=1limn∞(4αn2+4αnbn+bn2)=1

limn∞(αb-2bb)=1limn∞(αn2-4αnbn+4bn2)=1limn∞(5αn2+5bn2)=25limn∞(αn2+bn2)=2limn∞(αn2+bn2)=25

设： αn+bn=x(2αn+bn)+y(αn-2bn)=(2x+y)αn+(x-2y)bn2x+y=1

x-2y=1X=35

y=-15limn∞(αn+bn)=35limn∞(2αn+bn)-15limn∞(αn-2bn)=25

limn∞(αn+bn)2=425即 limn∞(αn2+bn2)+2limn∞αnbn=425

2limn∞αnbn=425-25=-625limn∞αnbn=。-325

说明：本题根据“宁同不异”的规则，由极限存在的概念出发，利用齐次式，待定系数法来解的。

例3、 已知：双曲线x24-y2=1及过点A(3，1)的一条弦BC，求BC所在直线的方程。

解：以点(6-x，2-y)代(x，y)得方程(6-x)24-(2-y)2=1

由x24-y2=1

(6-x)24-(2-y)2=1

得3x-4y-5=0

BC所在直线的方程是3x-4y-5=0。

说明：本题根据“宁特不普”的规则(利用图形的特点自己可添加)，利用 点所在双曲线的一支与它关于 点的对称图形的公共弦所在的直线方程就是 所在直线的方程来解的。本题也可以利用设 法或点差法来解，但上面的解法比较简单，这也符合“宁简不繁”的规则。

例4、已知：正三棱锥P-ABC中，PA=7，AB=6 ，PO平面ABC，O为垂足，D、E分别为PA、PC的中点。

求：异面直线OD与BE所成的角。

解：连接OD、OA、OB，分别过O、E作OF∥DE、EF∥DO，两线相交与F点，连接BF，

RtAOP中，OD为PA的一半，OD=12PA=72

OF∥DE、EF∥DO，得OFED为平行四边形，D、E分别为PA、PC的中点，得OF=DE=12AC=12AB=3，正三棱锥P-ABC中，O为垂足，则O为底面ABC的垂心重心，得BO=23，

由勾股定理可得BF=21

E为PC的中点

由平行四边形对角线的平方和对于各边的平方和的定理可得BE=112

根据余弦定理可得∠BEF=arccos4377

EF∥DO

∠BEF就是异面直线OD与BE所成的角，即OD与BE所成的角为arccos4377

说明：本题根据“宁同不异”的规则，把有关的线段都放到同一个平面的同一个三角形中来解的。

收稿日期：2008-01-10

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”