巧用勾股定理 开启思维之门

【摘要】 中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。事实上，“形数统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件。

【关键词】 勾股定理；思维之门；形数统一史话定理

在古代，许多民族发现了这个事实即直角三角形的三条边长为a，b，c，则a2+b2=c2。其中a，b是直角边长，c为斜边长。我国的算术《周髀算经》中，就有关于勾股定理的记载，为了纪念我国古人的的伟大成就，就把这个定理定名为“勾股定理”或“商高定理”。

中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。

赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展。例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已。

中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。事实上，“形数统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件。

实题演练

【例1】已知直角三角形斜边长为2，周长为2+6，求其面积

【分析】欲求直角三角形的面积，只需求两直角边之积，而由已知可得两直角边之和为6，结合勾股定理又及其平方和为4，于是可用方程求解.

【解】略

【说明】此解法采用“设而不求”的技巧，应该体会并掌握之。

【例2】如图，已知：点P是等边ABC内的一点，∠BPC=150°，PB=2，PC=3，求PA的长.

【分析】将BAP绕点B顺时针方向旋转60°至BCD，即可证得BPD为等边三角形，PCD为直角三角形.

【解】略

【说明】本题的解法采用了旋转的方法，这是我们解题时常用的一种方法。本题着重考查了等边三角形的有关知识和勾股定理及逆定理.

【例3】(2006年长春中考)如图，在RtABC中，∠C = 90°，AC = 4，BC = 3。在RtABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，如图所示。要求：在答题卡的两个备用图中分别画出两种与示例不同的拼接方法，并在图中标明拼接的直角三角形的三边长。(请同学们先用铅笔画现草图，确定后再用0.5毫米的黑色签字笔画出正确的图形)

【分析】本题的解题重点应放在等腰三角形的腰的选择和相关直角三角形边长的确定上。

【解】

【说明】本小题6分，以上四个图中任意画其中两个，并标出三角形的三边长，每画对一个图得2分，正确标出边长得1分。很多考生在解本题时，并没有认真领会题目的意图，“在RtABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，”而是将思维定格在RtABC的外部，仍用直角边长为 4和3的三角形去拼接，因而除了上解的第一种图外，再也想不出第二个图形来，从而将自己困在从不同位置进行图形拼接的迷宫里。

【例4】如图，一块长方体的长、宽、高分别为4米、2米、1米，现有一只蜘蛛在这块长方体的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G处，问蜘蛛要沿怎样的路线爬行，才能最快抓到苍蝇?蜘蛛爬行的最短路程是多少?

【分析】因为A、G两点分别在长方体的两个平面内，不妨把两点所在两个面展开，置于同一平面内，其最短路线可在同一平面内确定.

【解】根据展开面不同，可分三类情况，如下图所示：

(Ⅰ)图(1)中，BG=1+2=3，AG=32+42=5(米)；

(Ⅱ)图(2)中，AF=4+1=5，AG=52+22=29 (米)；

(Ⅲ)图 (3)中，AC=4+2=6，AG=62+12=37 (米).

比较上述三种情况，如图(1)所示的展开方法所走的路程最短.即沿经过棱EF的路线爬行，才能最快抓到苍蝇，最短路程是5米.

【说明】在求不同平面内的最短路线问题时，常用“降维”的方法将立体图形展开，然后，借助直角三角形运用勾股定理进行求解。

总的说来，勾股定理是数学中的伟大定理，它的应用范围是非常广泛的，它给人们的巨大力量可说是难以估量，几乎所有生产技术和科学研究都离不开它；而且有许多发展目前还探索不够，说不上什么时候会出现创新出奇的崛起，它的前程未可估量。

收稿日期：2008-01-11

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”