函数对称性初探

函数是学生中学阶段数学学习的核心内容,也是中学数学的基础｡而函数的对称性是函数的一个基本性质｡对称关系广泛存在于数学问题之中,学生从初中开始接触函数,就从没离开过关于函数对称的学习和讨论｡但直到高中,学生还是惧怕函数对称问题｡本文从函数自身对称中的两个方面来探究函数对称问题｡

(1)函数图像关于点对称｡①若函数y = f(x)的图像关于原点对称?圳f(x)+f(-x)=0 (例1)｡对于这一结论的导出,学生只知道应用而不知道根由,教学中可以利用对称的概念进行证明｡

证明:(?坩)设点M(x , y)是y = f(x)图像上的任一点,则点M关于原点的对称点M1(-x,-y)也在y = f(x)上,所以-y = f(-x),即 y+f(-x)=0,故f (x ) +f(-x ) = 0

(?圯)设点M(x0, y0)是图像上的任一点,则y0=f(x0),因为f(x)+f(-x)=0,所以f(x0)+f(-x0)=0,即-f(x0)=f(-x0) ,故-y0=f(-x0),所以说点M1(-x0,-y0)也在y = f(x)图像上,而点M1(-x0-y0)与点M(x0, y0)关于原点对称｡

2.在证明了上面的结论后,可以给出下面结论,进行拓展:

函数y = f(x)的图像关于点P (a ,b)对称?圳 f (x) + f (2a-x) = 2b(例2)

证明:(必要性)设点M(x ,y)是y = f(x)图像上任一点,因为点M(x ,y)关于点P(a ,b)的对称点M1(2a- x,2b- y)也在y = f (x)图像上,所以2b- y = f (2a- x)即y + f (2a- x)=2b故f (x) + f (2a- x) = 2b｡

(充分性)设点M(x0, y0)是y = f(x)图像上任一点,则 y0=f(x0)

f (x) + f (2a- x) =2b f (x0) + f (2a- x0) =2b,即2b- y0 = f (2a- x0) ｡

故点M1(2a- x0,2b- y0)也在y = f(x)图像上,而点M与点M1关于点P(a ,b)对称｡

在掌握了例2式以后,也基本解决了函数y = f(x)在平面内关于任一点对称的问题｡

(2)函数图像关于直线对称｡①若函数y = f(x)的图像关于y轴对称?圳 f(x)-f(-x)=0

证明:(必要性)设点M(x , y)是y = f(x)图像上的任一点,则点M关于y轴对称的点M1(-x,-y)也在y = f(x)上,所以y = f(-x) ,即 f(x)=f(-x),故f(x)-f(-x)=0｡

(充分性)设点M(x0, y0)是y = f(x)图像上的任一点,则y0=f(x0)｡因为f(x)-f(-x)=0,所以f(x0)-f(-x0)=0 ,即y0 =f(-x0),故点M(-x0, y0)也在函数y = f(x)的图像上｡而M(x0, y0)与M(-x0, y0)关于y轴对称｡(对于函数关于x轴对称的情形也可仿此法证之)

②在上面的基础上,进而可以给出:函数y = f(x)的图像关于直线x=a (a为常数)对称?圳f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2a-x) (证略)

③函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线y = x 成轴对称(读者可用对称定义证明)｡

(3)应用举例｡

例1.若函数y=log2ax-1的图像关于直线x=2对称,求非零实数a的值｡

解:对定义域内的任意x,有f(2-x)=f(2+x)恒成立

a(2-x)-1=a(2+x)-1恒成立,即 -ax+(2a-1)=ax+(2a-1)

又 a≠0,2a-1=0 ,得a=

例2.若函数f(x)=3+log2 x的图像与g(x) 的图像关于――――对称,则函数g(x) =――――｡

解:本题是一道开放题,答案并不唯一,用上面所列知识,可有三个答案

①关于x轴对称:g(x)=-3-log2 x ;②关于原点对称:g(x)=-3-log2(-x) ;关于y轴对称:g(x)=3+log2(-x)

例3.函数y=f(x-a)与函数y=f(-x+a)的图像关于___对称(第10届希望杯高一第一试)｡

解:设点M[x,f(x-a)] 是函数y=f(x-a) 图像上的任一点｡若x>a ,则点M关于直线x=a 对称的点为 M1[2a-x,f(x-a)],即{2a-x,f[a-(2a-x)]} ,也即是M1在函数y=f(x-a)的图像上;若x=a ,则点M[x,f(x-a)] 关于直线x=a的对称点为[a,f(x-a)] ,这点也在y=f(-x+a)的图像上;若x

所以 y=f(x-a)与y=f(-x+a)的图像关于直线x=a对称｡

例4.设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(1+x)= f(1-x),当-1≤x≤0时,f (x) = -x,则f (8.6 ) = _________ (第八届希望杯高二 第一试题)

解:f(x)是定义在R上的偶函数x = 0是y = f(x)的对称轴;又f(1+x)= f(1-x) x = 1也是y = f (x) 的对称轴｡故y = f(x)是以2为周期的周期函数,f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (-0.6 ) = 0.3

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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