概率统计中数学期望在决策中的应用
时间：2022-07-23 01:19:10
【摘要】随着科学的发展，数学在生活中的应用越来越广泛，生活的数学无处不在。数学期望同样在生活中的众多领域都有着重要的而应用。本文通过一系列的生活实例来说明数学期望从理论到实践上都具有重要意义！
面对随机现象，优化决策的正确通常是指随机变量的均值，面对决策方案即将数学期望最大的方案作为最佳方案加以决策。如果知道任意方案Aj（j=1，2…，m）在每个自然状况（影响因素）Si（i=1，2…n）发生的情况下，实施方案Aj所产生的盈利值P（Si，Aj），及各自然状况发生的概率P（Si），则可以比较各个方案的期望盈利：EP（Aj）=选择其中期望盈利最高的为最佳方案。
一、风险决策问题
例1、某商场要根据天气预报来决定节日是在商场内还是场外开展促销活动。统计资料表明，每年国庆节商场内促销可获经济效益2万元，场外促销活动中遇到有雨天气则带来经济损失4万元，无雨可获得经济效益10万元，9月30日气象台预报国庆节当地有雨的概率是40%，商场应该选择哪种促销方式？
设商场外促销活动获得的经济效益为ξ万元，
则P（ξ=10）=0.6，P（ξ=-4）=0.4
所以Eξ=10×0.6+（-4）×0.4=4.4（万元）
由Eξ>2知，场外促销方式可获经济效益的数学期望4.4万元高于场内促销可获经济效益2万元，故应选择场外促销方式。
说明：因为天气有雨或无雨是一个不确定的因素，因此作出决策时有存在一定的风险，我们不能保证所作的决策一定会取得最好效益，但必须使效益的期望值是最高的。
如果选择场外促销方式恰逢天气有雨，则带来经济损失4万元，比商场内促销可获经济效益2万元更不合算，这就是风险。这样的决策称为风险决策。
二、投资决策问题
例2：某人有10万元，有两种投资方案：一是购买股票，二是存入银行获取利息。买股票的收益取决于经济形势，假设可分三种状态：形势好、形势中等、形势不好（即经济衰退）。若形势好可获利4万元，若形势中等可获利1万元，若形势不好要损失2万元。如果是存入银行，假设年利率为8%，即可得利息8000元，又设经济形势好、中、差的概率分别为30%、50%和20%，试问选择哪一种方案可使投资的效益较大？
设a1为购买股票，a2为存银行，θ1为经济形势好，θ2为经济形势中等，θ3为经济衰退，P（θj）（j=1，2，3）为三种形势的概率，aij为第i种方案和第j种状态结合的结果，把它们列成一张表（称之为报偿表），即：
从上表可以看出，如果在经济形势好（θ1）和经济形势中等（θ2）的情况下，那么购买股票是合算的；但如果经济形势衰退（θ3）时，那么采取存银行的方案比较好。然而人们事先是不知道哪种情况会出现，因此采取期望值标准是比较合理的。方案a1、a2的期望值分别为：
E1=40000×0.3+10000×0.5+（-20000）×0.2=13000（元），E2=8000（元）
因为E1>E2，所以方案a1期望的收益比a2大，按最大收益原则，应采用期望收益高的方案，淘汰期望收益低的方案，所以应采用购买股票的方案。
说明：投资方案有两种，但经济形势是一个不确定因素。根据最大收益原则，做出选择的根据必须是数学期望高的方案。
三、方案决策问题
例3、某冷饮店需要制定某种冷饮在七、八月份的日进货计划。该品种冷饮的进货成本为每箱30元，销售价格为每箱50元，当天销售后每箱可获利20元，但如果当天剩余一箱，就要因冷藏费及其他原因而亏损10元。现有前两年同期共120天的日销售量资料，其中日销售量为130箱有12天，日销售量为120箱有36天，日销售量为110箱有48天，其余24天的日销售量也达100箱。请对于进货量分别为100箱、110箱、120箱、130箱四个方案给予决策。
根据前两年同期日销售量资料，进行统计分析，可确定不同日销售量的概率。
按日进货量100箱的方案，不论市场销售状况如何，当天只能销售100箱，可获利20×100=2000元。
若按日进货量110箱的方案，在市场销售状况为日销售100箱时，则当天可盈利20×100-10×10=1900元；而在市场销售大于110箱时，当天也只能销售110箱，则当天可获盈利20元×110=2200元。
据此类推，可计算出各个方案在不同市场销售状况下的盈利值，参见如下盈利表。
四、求职决策问题
中国社会市场化进程越来越快，用人单位在招聘人才时，除了明确所招人员的学历条件和能力之外，一般还会重点申明所招不同岗位人员的年薪值.而当今社会的价值取向主流是，劳动者尽其所能付出劳动后，希望获得尽可能大的薪酬回报，我们认为这是推动社会向前发展的重要因素.现在大学毕业生以年薪期望值作为择业决策的主要依据正是这种价值取向主流的具体体现. 大学生在求职面试多个机会过程中，其年薪期望值是一个动态数据，只有在其择业决策做出后才能相对确定下来，因此，做出好的择业决策就显得相当的重要.以下为了说明问题，通过一个已简单化了的实例，通俗说明如何把握这个动态的年薪期望值来准确做出择业决策的方法.。
例4：有三家公司都为硕士毕业生李宏提供了就职面试的机会，按面试的时间顺序，这三家公司分别记为A、B、C，每家公司都可提供极好、好和一般三种职位，每家公司将根据面试情况决定给予求职者何种职位或拒绝提供职位，若规定求职双方在面试以后要立即决定提供、接受或拒绝某种职位，且不容许毁约。咨询专家为李宏的学业成绩和综合素质进行评估后认为，他获得极好、好、一般职位的可能性分别为0.2、0.3、0.4。三家公司的工资数据如下：
李宏如果把工资数尽量大作为首要条件的话，那么他在各公司面试时，对该公司提供的各种职位应如何对策？
由于面试有时间先后，使得李宏在A、B公司面试，作选择时，还要考虑到后面C公司的情况，所以应先从C公司开始讨论。
C公司的工资期望值为：4000×0.2+3000×0.3+2500×0.4+0×0.1=2700（元）；
现在考虑B公司。因为B公司的一般职位工资只有2500元，低于C公司的期望值，所以只接受B公司极好或好的职位，否则就到C公司应聘，如此决策时，他的工资期望值为：3900×0.2+2950×0.3+2700×0.5=3015（元）；
最后考虑A公司，由于A公司只有极好职位的工资超过3015元，所以他只接受A公司的极好职位，否则就到B公司应聘。
他的总决策是这样的：先去A公司应聘，若A公司提供极好的职位就接受，否则去B公司应聘；若B公司提供极好或好的职位就接受，否则去C公司应聘，接受C公司提供的任何职位。
在这一策略下，他的工资期望值为：3500×0.2+3015×0.8=3112元。
通过数学期望在平均工资中的应用，使我们有了准确具体的决策依据可依，清楚明白其中的决策风险如何，我们果断的决策会带给招聘单位一个良好的印象。面对这个复杂的求职面试多个机会的择业决策问题，数学期望丰富了我们大学生在择业决策依据整合和择业决策风险分析方面相应的知识和技巧。
五、试验决策问题
例5：某新工艺流程如投产成功可收益300万元，但投产之前，必须经过小型试验和中型试验，试验经费分别需2万元和36万元，小型试验的成功率为0.7，如果连做两次小型试验，则成功率可提高到0.8，在小型试验基础上的中型试验的成功率为0.7，如果直接搞中型试验的成功率为0.5，应该如何决策，才能获利最多？
共有三种决策：
⑴一次小型试验和一次中型试验，此时工程的所有可能情况及其概率如下：
工程投资获益的期望值：E1=0.49×262+0.21×（-38）+ 0.3×（-2）=119.8（万元）
⑵两次小型试验和一次中型试验，此时工程的所有可能情况及其概率如下：
工程投资获益的期望值：E2=0.56×260+0.24×（-40）+ 0.2×（-4）=135.2（万元）
⑶如果急于求成，想省去小试，直接搞中试，此时工程的所有可能情况及其概率如下：
工程投资获益的期望值：E3=0.5×264+0.5×（-36）=114（万元）。
E2>E1>E3显然，这时采取第二方案最有利。
通过上述一系列的数学期望在决策中的应用举例，我们看到了数学知识给我们带来的价值与意义。在现代社会中决策问题受到人们极大的重视，就是在市场经济的今天，科学决策在更大范围、更多领域将取代经验决策，要科学决策就离不开数学。
参考文献
[1]谈祥柏.乐在其中的数学[M].北京：科学出版社，2005.
[2]中央电视台《百家讲坛》栏目组.相识数学[M].北京：中国人民大学出版社，2006.
[3]吴建国.数学建模案例精编[M].北京：中国水利水电出版社，2005.
[4]孙荣恒.趣味随机问题[M].北京：科学出版社，2004.
[5]梁之舜.概率论与数理统计（上册）[M].北京：高等教育出版社，2005.
作者简介
1.李桂范（1963--），女，黑龙江哈尔滨人，副教授。
2.苏敏（1963--），女，黑龙江哈尔滨人，副教授。
