例谈高中数学知识的强化

高中数学知识中，有许多知识不像“分类讨论法”和“换元法”等数学方法那么重要，也不像“定义、定理、公式和运算法则”那么重要，但是，这些知识在解决某些特定类型的问题中能起到事半功倍的作用.因此在新课教学或在高考第一轮复习中，有必要对这些数学知识进行强化，以便提高解题效率.以下举例加以说明.

强化1：在ABC中，若sinA≥sinB,则A≥B.

【例1】 在ABC中，已知cosA=513 ，sinB=35 ，求cosC的值.

解：在ABC中，cosA=513＞0，0

sinB=35，sinA＞sinB,π2＞A＞B＞0,

cosB=45 (避免得出结论cosB=±45

，从而导致错误结果cosC=1665或5665），cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=1665 .

强化2：若双曲线的离心率e=2，则双曲线是等轴双曲线，并且两条渐近线互相垂直.

【例2】 如果双曲线x2a2 -y2b2 =1的离心率为2，焦点与椭圆x225+y29=1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ,渐近线方程为 .

解：双曲线离心率为2，双曲线是等轴双曲线，a=b，

双曲线渐近线方程为y=±x.

c=25-9=4，双曲线焦点坐标为（±4,0）.

强化3：已知向量OA,OB不共线，M是线段AB的中点，

则OA+OB=2OM或且OM=12OA +12OB.

【例3】 已知O、A、B是平面上三点，直线AB上有一点C,满足2AC+CB=0，则OC=（ ）.

A.2OA -OB

B.–OA+2OB 

C.23 OA -13 OB

D.-13 OA +23 OB

解：2AC+CB=0 ,点A是BC的中点，

OB+OC=2OA ,即OC=2OA-OB，

选A.

强化4：若直线y=kx+b与曲线x2m +y2n ＝1交于两点A(x1,y1), B(x2,y2)，则k=-nm ?x1+x2y1+y2.

【例4】 以椭圆x216 ＋y24 ＝1内的点M(1,1)为中点的弦所在的直线方程是( ).

A．4x－y－3＝0 B．x－4y＋3＝0

C．4x＋y－5＝0 D．x＋4y－5＝0

解：依公式得直线斜率k＝－416 ＝－14 ，

直线方程为y－1＝－14(x－1)，即x＋4y－5＝0，

选D.

强化5：如图，平面α、β交于直线l,若PAα,A∈α, PBβ,B∈β,平面APB交l于点O.则BOA就是二面角α-l-β的平面角，并且∠BOA与∠BPA互补.

【例5】 已知α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线．给出以下四个论断：①mn；②αβ；③nβ；④mα.以上四个论断中的三个作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题 ．

解析：以②③④为条件，据题意可将直线m、n平移至空间一点P处，设经过直线m、n的平面与α、β的交线交于一点C，则∠DCE为二面角的平面角，而α、β互相垂直，故∠DCE＝90°，故∠DPE为直角，即两直线m与n垂直．即αβ，nβ，mα

mn.

或由mn，nβ，mααβ.

答案：②③④①(或①③④②).

总之，对高中数学知识的重点、难点和解题常用的知识、方法和技能给予必要的强化，对提高学生的解题效率起着重要作用.