“数学实验活动”的设计与开发研究

随着新课程标准的不断实施推进与初中数学课程改革的不断深入，“数学实验活动”在数学教学过程中越来越受到重视。苏科版数学实验教材安排了一些数学实验活动的内容，可见“数学实验活动”在课程改革进程中占有一席之地。对待数学实验活动这部分内容，目前的现状差距比较大，大部分教师在教授“数学实验室”这部分内容的时候并没有精心准备数学实验所必需的素材和环境，更没有为学生营造一个数学实验的活动平台，没有让学生在数学实验的过程中充分经历、体验、感受数学过程，更没有将数学实验的结果和学生一起经历概念化的过程，而是直接将数学化的概念教给学生，这使得学生在学习数学的过程中缺少对数学学习的情感培养，缺少对数学学习的正确认识，缺少培养数学思维的过程。学生在数学学习过程中很难感受到数学文化的价值，进而不利于学生数学素养的提高。

一、对数学实验活动的认识

数学实验活动的核心是实验。“实验”一词来源于拉丁语：是指人的某种尝试性或验证性活动，即任何科学实验都是有目的的获取科学事实或验证科学理论的实践活动。“数学实验”一词，最早出现在波利亚的著作《数学与猜想》和《怎样解题》中。波利亚在论述“数学”时说：“数学有两个侧面，它是欧几里得式的严谨科学……是一门系统的演绎科学；但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学。”波利亚充分肯定了观察、实验、归纳、类比、猜测、假设等在自然科学中常用的方法，同时强调，这些方法在数学研究过程中起着十分重要的作用。而数学实验是数学学习和研究过程中重要的组成部分，是最朴素的数学思想和方法的来源。

在教育不断被得到重视的今天，与人类发展密切相关的数学教育呈现出更大的活力。数学实验活动被越来越多的教师认为是学生学习数学的一个必要过程，但是人们对数学实验活动的理解还存在分歧。波利亚认为：合理(数学的定义、定理、公理)构造的图形，恰当选用的符号(系统)，作为数学对象的物化形式，它们对人的感官也会有刺激作用，会产生感性印象，它们作为数学规律的载体，也会有丰富的数学信息，也可以作为观察、操作、实验的对象。事实上，他把在研究工作中对图形、数(字)、式子的构造、观察、变换、计算都看作是一种实验。而其他观点则认为：一是认为数学实验就是数学的应用，所设置的“数学实验”课采用“数学建模+数学软件”的模式；二是认为数学实验就是以计算机为主要工具，采用观察、归纳、分析的方法，去探索、认识和学习数学。这显然是对“数学实验”的过于狭隘的理解。从数学学习的一般规律和学生学习的认知规律来看，我们所说的数学实验是一个广泛而又明确的概念，即在一定的数学(学习、研究、发现)目标的指导下，对具有一定数学意义的实物、模型、事物，以及数字、图形、数字符号、式子、题目等，进行观察、变换、制作、演示、求解以获取感性认识和数学信息的活动。明确了数学实验的概念不仅为实施数学实验活动提供了理论基础，也为设计数学实验活动指明了方向，为数学学习和研究提供了方法和技术路线。

二、数学实验活动形成数学认知

一般地，人们认识事物，都要经过两个阶段：感性认识和理性认识。而统一和推动这两个认识阶段的过程，是社会实践，即变革现实的实践活动。一个人想拥有更多的知识和经验，这个人就必须参与变革现实的实践。你要知道苹果的味道，你就必须“变革”苹果，亲自尝一口。而如何吃苹果，这正是实践活动的内容和方法。数学实验活动就是引导学生品尝数学的“味道”，在活动中经历、观察、探索、总结，形成基本的数学认知。其实，对数学的认知从婴幼儿时期就已经开始：儿童对数的认识(数感的形成)，就是在平时的玩耍过程中，将触摸、点数物体的动作经验转化为对物体多少的认识，从而能区分现实世界的物体的多少。这种分辨多少的能力正是儿童通过触摸、点数物体的实践活动学到的知识。可见，触摸、点数物体这样的数学实验活动是儿童形成数学认知的最简单、最自然的经历过程。

数学是一门抽象的科学。尽管很多数学知识都来源于社会实践，但是随着数学自身发展的需求，数学概念的抽象程度越来越高，最终以一种学术形态呈现在学习者的面前。同时数学又是一门理性的科学，是以公理为基础、以演绎为纽带的系统科学。面对这样的抽象和理性的科学，面对高度精炼和概括的数学概念，学习者要真正弄懂这些知识概念，最好的办法是让他们自己拥有经历、观察、探索、归纳的过程。就像儿童通过触摸、点数物体的活动形成数的认知一样，教师要让学生拥有这样一种数学实验的平台，让学生通过数学实验活动体验数学知识，经历探索过程，感受数学关系的变化和存在，进而达到数学学习的目的。要将学习内容经过设计、提炼并转化为数学实验活动并不是件容易的事情，这首先要将“教”的内容作为一种活动来分析。

要设计出恰当的实验活动内容，需要教师钻研教材，对各章节的教学内容要深入分析，选取适当的实验对象，安排适当的实验活动，让学生在活动中获得感性认识和相应的经历，然后再把这些实验结果通过反思、归纳，进行数学化，上升为数学认识，在教师的引导下形成教育形态的数学知识和数学概念。这就好比引导学生通过拆装机械，在拆装过程中认识机械构造原理，在实践活动中掌握机械的性能。

三、数学实验活动的设计

设计数学实验活动，主要考虑两个方面的因素：数学实验活动内容和数学实验活动环境。

1.数学实验活动的内容

合理的数学实验内容，不仅能让学生产生好奇心，更容易激发学生内在的学习热情和学习动力。在确定数学实验内容的过程中，要考虑数学实验课题的可操作性和探究性。

可操作性包括两层含义：一是实验内容要贴近生活，来源于生活，让学生有亲切感，愿意参与并进行实验活动；二是实验的操作所用到的知识与经验应该是学生已经掌握的或亲身经历的，让学生在实验过程中体验到用既有的知识与经验可以解决未知领域问题的成就感，增强学生学习数学的情感与态度。例如：在教授数轴这节内容时，以温度计上的度数为情景引入，并准备不同温度的水，将温度计放入不同温度的水中，学生可以从温度计上读出不同水温的度数。实验过程中要引导学生观察，水温高，度数升高；水温低，度数下降。最后归纳总结：温度计之所以能准确地显示水温，是因为温度计上有相等距离的刻度；零刻度让我们清楚的分辨零度以上和零度以下的温度；读数上升告诉我们水温在上升。将温度计水平放置，并将温度计转化为数学模型，看作一条直线，零刻度和等距离可以看作是数轴上的“原点”和“单位长度”，并标上正方向。在实验过程中，学生经历了并能感受到数轴真实存在，再也不会去死记硬背数轴的“三要素”了。在实验过程中，教师要注意引导学生观察，注意归纳实验结果，把实验活动转化为教育形态呈现

给学生，让学生从数学实验活动中不仅能感受到数学学习的乐趣，而且能有效地掌握数学概念。

探究性指；实验活动内容具有探究价值，实验过程有充分的探究空间，让学生在实验过程中能按照自己的想象或者思路进行实验活动，让学生感觉到自己就是实验主体，进而达到学生在实验中对知识进行主动建构的目的。设计开发数学实验活动时，要避免产生“伪数学实验活动”，即将“抽象”转化为“形象”的演示活动。课堂上的这种演示活动既没有学生的参与和互动，也没有学生的经历、探索和思考。例如：苏科版数学七年级上册“图形的变化”一节中设置了数学实验活动：“七巧板”拼图。这一课题笔者设置了两个目标：一是正方形如何分割成七块?每一块都是什么图形?二是你用这七块图形或者其中部分图形能拼出哪些几何图形和图案，并加上适当的解说词?像这样的数学实验活动可以以课题学习的形式布置给学生，以小组合作的形式进行实验，让学生有充分的时间完成实验活动，最后将实验成果进行展示。在这个实验活动中，能拼成多少种图形不是关注的重点(目前知道的大约能拼成1300多种图案)，要关注的是学生是否参与了活动，并在实验中是否真实体会到了几何图形变幻莫测的几何关系，是否达成了对几何图形的边与角的数学认知。如果只是将这些拼法由教师演示，没有学生的参与，那么这种单向的演示活动不是真正意义上的数学实验活动。

2.数学实验活动的环境

从前文对数学实验活动的定义看，数学实验活动的环境一般可分为两类：一是实物操作实验环境；二是多媒体模拟实验环境。苏科版初中数学实验教材在“数学实验室”中提供了一些实验活动内容，但是没有明确指出进行数学实验活动环境。这就需要教师根据实际教学情况进行合理的设计。有些数学实验活动比较适合在实物操作环境下进行，而有些实验活动非常适合在多媒体模拟实验环境下进行。教师要根据实验活动的可操作性恰当地选择实验活动的环境。由于近年来信息技术与课程整合的不断推广与深入，很多教师被误导，认为数学实验就是多媒体环境下的模拟实验。这很明显是对数学实验活动不完整的认识，很多数学实验活动在实物操作环境下进行远比在多媒体模拟环境下进行效果要好得多。例如：折纸与几何图形的实验活动，让学生用纸片折出正三角形、正六边形、正八边形、黄金矩形、正五边形。要进行这样的实验活动，实验本身就要求学生对图形进行研究，要找到图形的基本特征，然后要研究如何在一张纸上确定这些图形的边和角。以折正三角形为例，如图1所示：

仔细研究折纸过程，不难发现，图1中自左至右第二幅图是折正三角形的关键，如图2所示。AB是纸片对折的折痕，将点c沿DE折叠，使点c落在折痕AB上，得到点C’。由此可以推出，DE是正三角形的边长。这一过程在实际活动中需要反复推敲和验证，而实物操作实验环境下的折纸活动为这样的验证提供了机会。如果将此实验活动设计为多媒体模拟实验活动，不仅前期的软件制作需要花费大量的时间和精力，而且在实验过程中，学生不能直观感受正三角形边和角的产生过程，缺乏亲切感，经历与观察也不够直接。就这个数学实验活动而言，多媒体模拟实验环境的效果一定没有实物操作实验环境的效果好。

由于数学自身发展的需要，很多概念已经呈现出高度抽象的学术形态，无法在实物操作环境下进行实验活动。近年来，随着教育信息技术的迅速发展，也为多媒体模拟实验环境提供了技术支持，因此，多媒体模拟实验环境被广泛用于数学实验活动。多媒体技术的多元化发展也给数学实验提供了更广阔的平台，数学实验活动很大程度上将依赖于数学模拟实验环境，并且随着网络技术的不断发展，学生可以跨越时间和空间进行模拟数学实验，数学模拟实验环境会得到更好的发展。在设计开发多媒体模拟数学实验活动时，一定要紧扣教材，突出重点，破解难点，让学生在操作实验的过程中不仅感受到数学实验的乐趣，更能拥有不断思考、发现数学关系的空间，主动建构数学知识和概念。例如：在讲授有理数大小比较和绝对值概念的时候，设计了相关的数学实验活动。实验环境采用了数学专用软件“几何画板”，如图3所示：

模拟实验环境为动态显示点A所表示的有理数的大小。实验过程中，反复改变点A的位置，让学生观察点A所表示的数的大小，通过视觉刺激让学生把点A在数轴上的位置与有理数大小进行关联，并产生基本数学认知：不同的点表示不同大小的有理数。进一步实验，将点A自左向右慢慢移动，学生通过观察会发现，随着点A向右移动，点A所表示的有理数也随着增大，学生通过归纳总结，自然会得出数轴上的数自左向右由小到大进行排列。再取不同于点A的另外一点B，如图4所示：

学生在实验过程中通过观察和体验很容易比较两个点所表示的有理数的大小，很直观地产生这样的概念：在数轴上右边的点比左边的点所表示的有理数大。反复改变点B的位置，如图5所示：

通过观察、体验实验结果，并总结归纳，学生很容易理解并掌握有理数大小比较这一数学知识点和概念。在进行绝对值概念教学的数学实验活动中，先提出问题：一是记录点A与点B分别所表示的有理数的大小；二是记录点A与点B到原点的距离分别是多少。改变点B的位置，反复进行实验，归纳实验结果，学生能直接体验到一个数的绝对值就是指数轴上表示这个数的点到原点的距离。在老师的指导下，以数轴为依托，让“数”与“距离”产生关联，很自然得出任何一个数的绝对值不可能是负数的结论，并能体会到一个数的绝对值大小与这个数在数轴上的位置密切相关。多媒体模拟实验环境解决了数学教育中抽象概念教学的困局，让学习者和研究者更容易接近数学。通过对教学内容的不断深入分析，可以设计与开发更多适用于多媒体模拟实验环境的数学实验活动。例如，勾股定理教学的数学实验活动，通过模拟实验很容易让学生理解勾股定理中抽象的数学关系：a2+b2=c2。在毕达哥拉斯发现这个数学关系之后，因为无法进行有效的数学实验进行数学关系验证，勾股定理(欧洲称为毕达哥拉斯定理)一直困扰欧洲数学界很多年。下面是多媒体模拟实验环境下的勾股定理验证过程，这是由我国清代数学家梅文鼎发现的验证方法，如图6至图11所示：

从图6至图11清楚地展示了a2和b2“装入”c2全部过程。通过这个实验，学生可以直观、形象地感受、体验到S1+S2+S2这一事实。在教师的引导下，将钆b，c分别“关联”到即有SS2=C1。进而对数学关系的掌握和运用就是一件很简单的事情了。

在新课程标准推进和课改实验过程中，数学实验活动是一个新课题。实验活动的内容来源于教学内容，而设计开发数学实验活动应密切联系生活实际，研究教材，选择适当的教学内容，设计适合不同实验环境的数学实验活动。因此，教学活动本身是设计数学实验活动的基础。设计数学实验活动还要考虑学生是实验活动的主体，让学生从实验活动中经历、感受、探究数学过程是设计数学实验活动的基本原则。在设计数学实验活动过程中，杜绝任何脱离学生认知规律的技术展示，应将数学实验活动理解为数学教育的一部分，是数学学习方式的一种进化，实验活动的目的是帮助学生理解数学和掌握数学概念。不能将数学实验只停留在活动层面，要将实验活动结果“数学化”，引导学生进入数学王国，让学生认识到数学世界自身的规律。