立体几何命题的判断与构造

立体几何的习题中判断直线和平面的位置关系的命题比较多。本文通过一些实例，给出类似命题的常用判断方法：直接法、模拟法、否定检验法，也给出一些常见构造命题的方法，希望能探索一些命题之间的关联。

一、命题的常用判断方法

1.直接法

若对定义、公理、定理等掌握灵活，可直接判断，称为“直接法”。

例1．垂直于同一平面的两直线平行。用符号表示即：mα，nα？圯m∥n

显然，这个命题是正确的，即直线与平面垂直的性质定理。

例2．垂直于同一直线的两平面平行。用符号表示即：mα，mβ？圯α∥β

这个命题也是正确的。

例3．如一条直线平行于一个平面，则该直线平行于该平面内的任何直线。用符号表示即：a∥α，b∈α？圯a∥b

这个命题是假命题。只要对直线和平面平行的性质定理掌握的准确就可正确判断。另外也可通过实物演示，如图：

2.模拟法

模拟法就是结合实物加以模拟演示。

例4．垂直于同一平面的两平面平行（假命题）

可用墙角来模拟说明。

3.否定检验法

有一些命题，看起来是真命题，并且通过实验演示也容易演示错误。

例5．如果两条直线和一个平面所成的角相等，则两直线平行。

由于有“两条平行直线与同一个平面所成的角相等”这个正确命题作为经验，用实物演示时往往容易演示成下图，从而认为该命题为真，而事实上该命题为假命题。

判断这样的命题可用以下思路：否定所给命题，再利用已知条件演示或作图，若能做出图形，则所给命题为假命题。

如例5可先假定两直线不平行，再利用已知条件，及构造两条不平行的直线与一个平面所成的角相等，而两直线不平行可以却相交，可以用实物演示：

这种方法为“否定检验法”，对很多似是而非的命题判断很有效。

二、常用的构造命题法

通过比较我们发现很多命题都有相似处，所以可利用一些方法自己“构造”并判断命题。通常构造命题的方法有：利用四种命题的关系构造命题；利用变换“关键词”构造命题，比如在原有命题中，将关键词“点”“直线”“平面”互相转化，将“平行”“垂直”进行转化等，并且注意文字表述和符号表述。

例6．利用变换关键词的方法构造命题

已知命题：若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行。

符号表示即：a∥b，c∥b？圯a∥c（真）

⑴若两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。

符号表示即：ab，cb？圯a∥c（假）

⑵若两个平面都和一条直线平行，则这两个平面平行。（已知命题中的直线变平面）

符号表示即：α∥a，β∥a？圯α∥β（假）

⑶若两个平面都和第三个平面平行，则这两个平面平行。（已知命题中的直线变平面）

符号表示即：α∥γ，β∥γ？圯α∥β（真）

⑷若两条直线都和一个平面平行，则这两条直线平行。（已知命题中的直线变平面）

符号表示即：a∥α，b∥α？圯a∥b（假）

⑸若两条直线都和一个平面垂直，则这两条直线平行。（已知命题中的平行变垂直）

符号表示即：aα，bα？圯a∥b（真）

⑹若两个平面都和一个平面垂直，则这两个平面平行。符号表示即αγ，βγ？圯α∥β（假）

⑺若两个平面都和一条直线垂直，则这两个平面平行。（已知命题中的平面变直线）

符号表示即：mα，mβ？圯α∥β（真）

例7．利用四种命题的关系构造命题

原命题：如果两条直线平行，则它们和第三条直线所成的角相等（真）

逆命题：如果两条直线和第三条直线所成的角相等，则两直线平行（假）

否命题：如果两条直线不平行，则它们和第三条直线所成的角不相等（假）

逆否命题：如果两条直线和第三条直线所成的角不相等，则两直线不平行（真）

教师自己“构造”立体几何命题，并鼓励学生“构造”并判断新命题，既可加强对立体几何知识和方法的理解，也可促进学习兴趣，增强学习立体几何的信心，对数学思想方法的掌握和学习成绩的提高都很有好处。

【责编　张景贤】