七\立体几何

一星题：立足概念，夯实基础

二星题：立足重点，查漏补缺

三星题：立足难点，提升能力

一星题

1． 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是

①正方形 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥

（A） ①② （B） ①③ （C） ①④ （D） ②④

2． 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°、腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是

（A） 2+（B） （C） （D） 1+

3． 半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为

（A） πR3 （B） πR3 （C） πR3 （D） πR3

4． 设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是

（A） 若lm，m?奂α，则lα （B） 若lα，l∥m，则mα

（C） 若l∥α，m?奂α，则l∥m （D） 若l∥α，m∥α，则l∥m

5． 已知a=（0，-1，1），ｂ＝（1，2，-1），则ａ与ｂ的夹角等于

（A） 90° （B） 30° （C） 60° （D） 150°

6． 三棱柱ABC-A1B1C1的各个棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是

（A） 30° （B） 45° （C） 60° （D） 90°

二星题

7． 四面体S-ABC的各个侧面都是边长为a的正三角形，E，F分别是SC和AB的中点，则直线EF与直线SA所成的角的大小为

（A） 90° （B） 60°

（C） 45° （D） 30°

8． 如图1所示，这是一个几何体的三视图，若它的体积是3，则a=．

9． 如图2所示，E，F分别为直角三角形ABC的直角边AC和斜边AB的中点，沿EF将AEF折起到A′EF的位置，连接A′A，A′B，A′C，P为A′C的中点． 求证：（1） EP∥平面A′FB；（2） 平面A′EC平面A′BC；（3） AA′平面A′BC．

10． 如图3所示，已知在AOB中，∠AOB＝，∠BAO＝，AB＝4，点D为AB的中点． 若AOC由AOB绕直线AO旋转而成，记二面角B－AO－C的大小为θ． （１） 当平面ＣＯＤ平面ＡＯＢ时，求θ的值；（２） 当θ∈，时，求二面角Ｃ－ＯＤ－Ｂ的余弦值的取值范围．

三星题

１１． 直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于．

１２． 如图４所示，四棱锥Ｓ-ＡＢＣＤ的底面是正方形，ＳＤ平面ＡＢＣＤ，ＳＤ＝２ａ，AD=a，点Ｅ是ＳＤ上的点，且DE=λa（0＜λ≤2）． （１）求证：对任意的λ∈（0，2］，都有ACBE；（２） 设二面角Ｃ-ＡＥ-Ｄ的大小为θ，直线ＢＥ与平面ＡＢＣＤ所成的角为φ，若tanθ•tanφ=1，求λ的值．

１３． 如图５所示，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面VAB侧面VBC． （１） 求证：VAAD；（２） 设直线VD与平面VBC所成的角为θ，平面VAD与平面VBC所成锐二面角为φ．试判断θ与φ的大小关系，并证明你的结论．

【参考答案】

１． Ｄ２． Ａ３． Ａ４． Ｂ５． Ｄ６． Ｃ

７． Ｃ （提示：如图６所示，四面体S-ABC为正四面体，设SB的中点为G，则GE=GF=. 在等腰SFC中，EF为底边SC上的高，可求得EF=a， GEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，∠EFG=45°． 又 GF∥SA， 直线EF与直线SA所成的角的大小为45°）

８．（提示：如图７所示，几何体为直三棱柱）

９． 证明： （１） Ｅ，Ｐ分别为ＡＣ，Ａ′Ｃ的中点， ＥＰ∥Ａ′Ａ，又Ａ′Ａ?奂平面Ａ′FＢ，ＥＰ?埭平面Ａ′FＢ， ＥＰ∥平面Ａ′ＦＢ．

（２） ＥＦＡ′Ｅ，EF∥BC， ＢＣＡ′Ｅ．又ＢＣＡＣ， ＢＣ平面Ａ′ＥＣ． ＢＣ?奂平面Ａ′ＢＣ， 平面Ａ′ＢＣ平面Ａ′ＥＣ．

（３） 在ＡＡ′Ｃ中， Ｅ为ＡＣ的中点， ＡＥ＝ＥＣ. 又AE＝Ａ′Ｅ， AA′C为Rt，AC为其斜边， Ａ′ＡＡ′Ｃ． 又由（２）知ＢＣ平面Ａ′ＥＣ， ＡＡ′ＢＣ， Ａ′Ａ平面Ａ′ＢＣ．

１０． 解：（１） 如图８所示，以Ｏ为原点，以平面ＯＢＣ内垂直于ＯＢ的直线为ｘ轴，以ＯＢ，ＯＡ所在的直线分别为ｙ轴、ｚ轴建立空间直角坐标系，则Ａ （０，０，２），Ｂ（０，２，０），Ｄ（０，１，）． OBAO，OCAO， ∠COB为二面角B-AO-C的平面角， ∠COB＝θ， 点Ｃ坐标为（２ｓｉｎθ，２ｃｏｓθ，０）.

设n1＝（ｘ1，ｙ1，ｚ1）为平面ＣＯＤ的一个法向量，由n1•＝0，n1•＝0可得y1+z1＝0，2x1sinθ+2ｙ1ｃｏｓθ＝0.取z1＝ｓｉｎθ，则n1＝（ｃｏｓθ，－ｓｉｎθ，ｓｉｎθ）．设n2＝（ｘ2，ｙ2，ｚ2）为平面ＡＯＢ的一个法向量，由n2•＝0，n２•＝0得2z2＝0，2ｙ2＝0.取ｘ2＝1，解得n2＝（１，０，０）. 又由平面ＣＯＤ平面ＡＯＢ得n１•n2＝０， ｃｏｓθ＝０，即θ＝．

（２） 设二面角Ｃ－ＯＤ－Ｂ的大小为α. n1＝（ｃｏｓθ，－ｓｉｎθ，ｓｉｎθ）为平面ＣＯＤ的一个法向量，当θ∈，时，ｃｏｓθ＜0，-ｓｉｎθ＜0，ｓｉｎθ＞0， n1指向平面ＣＯＤ内． 平面ODB?奂平面OAB，n2＝（１，０，０）为平面ＡＯＢ的一个法向量， n2也为平面ODB的一个法向量. n2指向平面ODB外， 角α的大小等于向量n1，n2夹角的大小． θ∈，， ｃｏｓθ

综上可得，二面角Ｃ－ＯＤ－Ｂ的余弦值的取值范围为-，0．

１１． 20π （提示：直三棱柱与其外接球的图形如图９所示）

１２． （１） 证明：如图１０所示，以Ｄ为原点，以，，分别为ｘ轴、ｙ轴、ｚ轴的正方向建立空间直角坐标系，则Ｄ（０，０，０），Ａ（a，０，０），Ｂ（a，a，０），Ｃ（０，a，０），Ｅ（０，０，λa），=（-a，a，0），=（-a，-a，λa）， •=2a2-2a2+0•λa=0，即ACBE．

（２） 解： 由（１）得=（a，0，-λa），＝（0，a，-λa），＝（-a，-a，λa）．

设平面ＡＣＥ的法向量为ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ），则由ｎ，ｎ得ｎ•＝0，ｎ•＝０；即a•x-λa•z＝0，a•y-λa•z＝0.取z=，得n=（λ，λ，）．

平面ＡＢＣＤ的一个法向量为＝（0，0，2a）， sinφ==. 平面ＡＤＥ的一个法向量为＝（0，a，0）， cosθ===. 0

１３． （１） 证明：如图１１所示，作AEVB， 侧面VAB侧面VBC，VB为两者的交线， AE侧面VBC， AEBC．又底面ABCD为矩形， ABBC， BC平面AEB． VA?奂平面AEB， BCVA． AD∥BC， VAAD．

（２） 解：设平面VAD∩平面VBC=l. BC∥AD，BC?埭平面VAD， BC∥平面VAD. 平面VBC∩平面VAD=l， BC∥l．

由（１）可得BC平面AEB， BCVB． BC∥l， VBl． 又 VAAD， VAl． ∠AVB是平面VAD与平面VBC所成锐二面角φ的平面角，即∠AVB=φ．

设D在平面VBC上的射影为F，连接VF，则∠DVF为直线VD与平面VBC所成的角， ∠DVF=θ．

由AD∥BC可得AD∥平面VBC， AE=DF．在ＲｔVEA中，AE=VAsinφ；在ＲｔVFD中，DF=VDsinθ， ==. 由（1）得VAAD， VD为RtADV的斜边， >1， sinφ>sinθ. 又φ，θ∈0，，根据正弦函数的单调性可得φ>θ．