立体几何中的利器

中图分类号：G633.63文献标识码：A 文章编号：1008-925X(2011)09-0174-02

在立体几何中，法向量是将空间几何问题转换成代数问题的一种有效手段，往往可以起到化难为易的效果，而且使整个解题过程转化为程序化的向量运算，简捷方便，能减轻空间想象之苦。下面就平面法向量在立体几何中的作用做一个初步探索。

1法向量的定义

如果nα，那么向量n叫做平面α的法向量.

(图1)

2 求平面的法向量的方法

2.1 观察题目中是否有平面的法向量;

2.2 设出法向量n=（x,y,z)，在平面内任取两个不共线的向量α,β

由:α•n=0

β•n可求出满足方程组的一个解，从而求出平面的一个法向量.

3 法向量的应用

3.1 证明线面平行、面面平行

线面平行：转换为线所在的向量与面的法向量的数量积为0

面面平行：转换为两个面的法向量平行

例1.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，E、F、G分别为棱AB、BC、BB1的中点求证：（1）BO∥平面A1C1D；（2）平面EFG∥平面A1C1D1

分析:建立空间直角坐标系(如图),计算OB,平面A1C1D的法向量n1

平面EFG的法向量n2

证明OB1n1,n1//n2

证明：建系如图D-xyz,设边长为2，则O（1,1,0）、B1（2,2,2）、A1（2,0,2）、C1（0,2,2）

D（0,0,0）、E(2,1,0)、F（1,2,0）、G(2,2,1),设平面A1C1D的法向量n=（x1,y1,z1), 平面EFG的法向量n2=（x2,y2,z2)

(1)、OB=（1,1,2），A1C1=（-2,2,0），DA1=（2,0,2），

由A1C1•n1=0

DA1•n1=0，故有-2x1+2y1=0

2x1+2z1=0，令x1=1，则y1=1，z1=-1.n1=（1，1，-1）

OB1•n1=0，B1O∥平面A1C1D

(2)EF=(-1,1,0),EG=(0,1,1),由

EF•n2=0

EG•n2=0,故有

-x2+y2=0

x2+z2=0，令x2=1，则y2=1，z2=-1.n1=（1，1，-1）

显然n1//n2,平面EFG∥平面A1C1D

3.2证明线面垂直、面面垂直。

面面垂直：法向量为载体，转化为求两个平面法向量的数量积等于0

线面垂直：以法向量为载体，转化为求平面法向量与直线所在的向量平行

例2.如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为22，侧棱长为4，E,F分别为棱AB、BC的中点.

求证：平面B1EF平面BDD1B1

解：以D为原点，DA,DC,DD1分别

为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B（22，22，0），E（22，2，0），F（2，22，0）D1（0，0，4）B1（22，22，4）EF=(-2,2,0)EB1=(0,2,4),DD1=(0,0,4),DB=(22,22,0)

设平面EF的法向量为n=(x,y,z)，

则-2x+2y=0；nEB1即2y+4z=0.所以令n=(4,4,-2)

设平面BDD1B的法向量为n1=(x1,y1,z1),n1DD1,即4z1=0;n1DB,即22x+22y=0.所以可令n1=(2,-2,0)．n•n2＝(4,4,-2)(4,4,-2)=０

平面B1EF平面BDD1B1.

3.3 求异面直线的距离。

先设法求出同时与异面直线垂直的法向量n,然后在两异面直线上分别任取点A,B,则

(图6)

例3. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,求直线DA1的AC距离.

解析: 建立坐标系B1-xyz,如图7所示,则点

A(1,0,1),C(0,1,1),A1(1,0,0),D(1,1,1),则A1A=(0,0,1),AC=(-1,1,0),A1D=（0，1,1）,设

n=(x,y,z)为与AC与A1D同时垂直的向量，即-x+y=0

y+z=0,故n=(1,1,-1)为其中一个法向量,

所以直线DA1的AC距离为33.

评述：利用法向量解立体几何题，可以克服平面的垂线难作、角难找、图难画等难点，但要评估综合几何法与向量法在解决立几综合问题时的优劣,根据题目特点灵活使用.而恰当的建系是使用法向量解决立几问题的前提. 利用法向量求线面角、二面角应特别注意角度之间的转化.