专题六 立体几何(4)

一、选择题（每小题4分，共40分）

1. 已知命题：“如果[xy，y∥z]，则[xz]”是假命题，那么字母[x，y，z]在空间所表示的几何图形只可能是（ ）

A. 全是直线

B. 全是平面

C. [x，z]是直线，[y]是平面

D. [x，y]是平面，[z]是直线

2. 设[l，m]是两条不同的直线，[α，β]是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若[mα，lm]，则[l∥α]；②若[mα，l?β，l∥m]，则[αβ]；③若[α∥β，lα，m∥β]，则[lm]；④若[α∥β，l∥α，m?β]，则[l∥m]. 其中正确命题的个数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

[ ]3. 如图所示，已知正方体[ABCD-A1B1C1D1]中，[E，F]分别是正方形[A1B1C1D]和[ADD1A1]的中心，则直线[EF]与平面[ADD1A1]所成角的大小为（ ）

A. [90°] B. [60°] C. [45°] D. [30°]

4.在正三棱柱[ABC-A1B1C1]中，若[AB=2，][AA1=1]，则点[A]到平面[A1BC]的距离为（ ）

A. [34] B. [32] C. [334] D. [3]

5.某个几何体的三视图如图（其中正视图中的圆弧是半圆）所示，则该几何体的表面积为（ ）

[4] [6] [5][4] [2][正视图][侧视图][俯视图]

A. [92+14π] B. [82+14π]

C. [92+24π] D. [82+24π]

6. 已知正方体[ABCD-A1B1C1D1]，如图，[E]是棱[AA1]上的动点，过点[D1，E，B]作该正方体的截面交棱[CC1]于点[F].设[AE=x]，则三棱锥[B1-EBF]的体积（ [ ]）

A. 随着[x]的增大而增大

B. 随着[x]的增大先增大后减小

C. 随着[x]的增大先减小后增大

D. 与[x]的取值无关，且总保持恒定不变

7. 设[A，B，C，D]是半径为2的球面上的四点，且满足[ABAC，ADAC，ABAD]，则[SΔABC+][SΔABD+SΔACD]的最大值是（ ）

A.6 B. 7 C. 8 D. 9

[ ]8. 如图，在[ΔABC]中，[C=90?，][A=30?，BC=1].在三角形内挖去半圆（圆心[O]在边[AC]上，半圆与[BC，AB]相切于点[C，M]，与[AC]交于点[N]），则图中阴影部分绕直线[AC]旋转一周所得旋转体的体积为（ ）

A. [5327π] B.[33π] C. [4327π] D. [539π]

[ ]9. 如图，正方体[ABCD-A1B1C1D1]中， [O]为底面[ABCD]的中心，[M]为棱[BB1]的中点，则下列结论中错误的是（ ）

A. [D1O∥]平面[A1BC1]

B. [D1O]平面[AMC]

C. 异面直线[BC1]与[AC]所成的角等于[60°]

D. 二面角[M-AC-B]等于[90°]

10. 如图，正三角形[PAD]所在平面与正方形[ABCD]所在平面互相垂直，[O]为正方形[ABCD]的中心，[M]为正方形[ABCD]内一点，且满足[MP=MB]，则点[M]的轨迹为（ ）

[ ]11. 如图，四边形[ABCD]为菱形，四边形[CEFB]为正方形，平面[ABCD][]平面[CEFB]，[CE=1，∠AED=30°]，则异面直线[BC]与[AE]所成角的大小为 .

12. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，俯视图是半圆.现有一只蚂蚁从点[A]出发沿该几何体的侧面环绕一周回到[A]点，则蚂蚁所经过路程的最小值为 .

[2] [正视图][侧视图][俯视图]

13. 已知三棱锥[P-ABC]的各顶点均在一个半径为[R]的球面上，球心[O]在[AB]上，[PO平面ABC，][ACBC=3]，则三棱锥与球的体积之比为 .

14. 设[α]和[β]为两个不重合的平面，给出下列命题：①若[α]内的两条相交直线分别平行于[β]内的两条直线，则[α]平行于[β]；②若[α]外一条直线[l]与[α]内的一条直线平行，则[l]和[α]平行；③设[α]和[β]相交于直线[l]，若[α]内有一条直线垂直于[l]，则[α]和[β]垂直；④直线[l]与[α]垂直的充分必要条件是[l]与[α]内的两条直线垂直. 其中真命题的序号为 .

三、解答题（15、16题各10分，17、18题各12分，共44分）

15. 如图，已知点[P]在圆柱[OO1]的底面圆[O]上，[AB]为圆[O]的直径，[OA=2，∠AOP=120°]，三棱锥[A1-APB]的体积为[833].

（1）求圆柱[OO1]的表面积；

（2）求异面直线[A1B]与[OP]所成角的余弦值.

16.如图，在三棱柱[ADF-BCE]中，侧棱[AB]底面[ADF]，底面[ADF]是等腰直角三角形，且[AD=DF=a，AB=2a，G]是线段[DF]的中点，[M]是线段[AB]上一点.

（1）若[M]是线段[AB]的中点，求证[GA∥平面FMC]；

（2）若多面体[BCDMFE]的体积是多面体[F-ADM]的体积的3倍，[AM=λMB]，求[λ]的值.

17. 如图，在四棱锥[P-ABCD]中，底面[ABCD]是等腰梯形，[AB∥DC，][∠ADC=π3，][PD=PC=CD=][2AB=2]，[E]为[PD]的中点.

（1）求证：[AE∥平面PBC]；

（2）若[PBBC].

①求证：平面[PBD平面ABCD]；

②求直线[AE]与底面[ABCD]所成角的正弦值.

18. 如图甲，[O]的直径[AB=2]，圆上两点[C，D]在直径[AB]的两侧，且[∠CAB=π4，∠DAB=π3].沿直径[AB]折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），[F]为[BC]的中点，[E]为[AO]的中点.根据图乙解答下列各题：

（1）求三棱锥[C-BOD]的体积；

（2）求证：[CBDE]；

（3）在[BD]上是否存在一点[G]，使得[FG∥平面ACD]？若存在，试确定点[G]的位置；若不存在，请说明理由.