向量与立体几何

立体几何考查空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力． 高考一般包括两个小题和一个大题，小题以考查基本位置关系的判定和角、距离等基本运算为主；大题既考查定性的判断空间线面的位置关系，也考查定量的角或距离的计算． 同学们要关注常规解法和向量解法，这类题目多以不规则几何体为载体，并且以“方便建系”为原则. 此外，对几何体的非常规放置问题同学们也要引起足够的重视．

■ 专项模拟

1． 直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1=1，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，设面A1BC1与面ABC的交线为l，则A1C1与l的距离为（）

． 如图1，已知球O是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，平面ACD1截球O的截面面积为（）

（）

A． 12 B． 12π

4． 有下列四个判断：①平面α平面γ，平面β平面γ；②直线a∥b，a平面α，b平面β；③a，b是异面直线，a?奂α，b?奂β且a∥β，b∥α；④平面α内距离为d的两条平行直线在平面β内的射影仍为两条距离为d的平行直线．其中能推出α∥β的条件有_________?摇（填写所有正确条件的代号）．

5． 已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1AC1．

（Ⅰ）求证：AC1平面A1BC；

（Ⅱ）求CC1到平面A1AB的距离；

（Ⅲ）求二面角A-A1B-C余弦值的大小．

6． 如图2，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面为正方形，O1，O分别为底面A1B1C1D1和ABCD的中心，且A1在底面ABCD上的射影为O．

（Ⅰ）求证：平面O1DC平面ABCD；

（Ⅱ）若点E，F分别在AA1，BC上，且AE=2EA1，则点F在何处时，有EFAD？

（Ⅲ）若∠A1AB=60°，求二面角C－AA1－B的大小．

7． 如图3，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=2，AB1BC1，点D为A1C1的中点． 试求：

（Ⅰ）CD与平面AB1D所成角；

（Ⅱ）点C1到平面AB1D的距离．

（Ⅰ）求证：平面ABC平面BCD；

（Ⅱ）求直线AD与直线BC所成角的大小；

（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．

9． 如图5所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DB=BC，DBAC，点M是棱BB1上一点．

（Ⅰ）求证：B1D1∥面A1BD；

（Ⅱ）求证：MDAC；

起到平面PAB的位置，使二面角P－CD－B成45°角，设E，F分别是线段AB，PD的中点（如图7）．

（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；

（Ⅱ）求平面PEC和平面PAD所成的二面角的大小；

（Ⅲ）求点D到平面PEC的距离．

11. 如图8，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，PCAD，底面ABCD为梯形，AB∥DC，ABBC，PA=AB=BC，点E在棱PB上，PE=2EB.

（Ⅰ）求证：平面PAB平面PCB；

（Ⅱ）求证：PD∥平面EAC；

（Ⅲ）求二面角A-EC-P的大小.

■ 解题反思

在几何体中，平面放置位置不是水平或垂直形式时，不利于问题的分析． 例如第7题，直线CD与平面AB1D所成角，作出CD在平面AB1D内的射影是难点，有两条途径可解决问题：

１． 考虑过点C作平面AB1D的垂线；

２． 直接寻找过CD的平面α，使α平面AB1D．

不论几何体如何放置，牢牢抓住构造垂直关系是解决问题的关键． 第9题第（Ⅲ）问，难点是无法明确究竟是哪个平面与面CC1D1D具有垂直关系，但如果遵循“执果索因”的原则来进行分析，还是可以把问题解决的． 使用向量法解题时，建立适当的坐标系是第一步，如果题目条件中没有给出三条两两垂直的线段，就要先构造出这样的线段，然后证明其满足两两垂直，进而建立坐标系，例如第5题． ■

1． C2． A

3． B4． ②③

5． （Ⅰ）证明略

6． （Ⅰ）证明略

（Ⅱ）点F为BC的三等分点（靠近B）时，有EFAD

8． （Ⅰ）证明略

为AD与BC所成角

9． （Ⅰ）证明略

（Ⅱ）证明略

（Ⅲ）当点M位于BB1的中点时，有平面DMC1平面CC1D1D

10. （Ⅰ）证明略

（Ⅱ）３０°

11. （Ⅰ）证明略，提示：由BC平面PAB可得

（Ⅱ）证明略，提示：连结BD，交AC于点M，由PD∥EM可得

角