分析高考命题特征 探寻高考命题规律

1 不得不关注的两个事实

1．1 解析几何在历年试卷中的比重：

2．圆锥曲线与方程

中心在坐标原点椭圆的标准方程与几何性质√

中心在坐标原点双曲线的标准方程与几何性质√

顶点在坐标原点抛物线的标准方程与几何性质√

1.3 参照近几年江苏卷我们会发现：

（1）解析几何内容在近几年江苏高考中，从所占的分值来看平均大约占21分，在理科附加题的考查中也常有解析几何的影子；

（2）从题型上看，一般填空题为1~2题，解答题一般为1题；

（3）从试题命题的难度看，仅有2010年第6题考查的是有关双曲线的问题是属于基础题，其他试题均属于中档题或综合性较强的问题.

事实上，从江苏高考考纲对这一部分的要求来看，也只有对双曲线与抛物线的要求是A级，所以我们在复习这两种圆锥曲线时切忌挖得太深．当然，关于空间直角坐标系的考查主要是放在理科附加题部分空间向量在立体几何中的应用．

2 解析几何题高考指向

2.1 指向1：有关直线的问题

考题1（08 江苏 9）如图，在平面直角坐标系xOy中，设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0)，点P(0,p)是线段AO上的一点（异于端点），这里a,b,c,p均为非零实数，设直线BP,CP分别与边AC,AB交于点E,F，某同学已正确求得直线OE的方程为(1b－1c)x+(1p－1a)y=0，请你完成直线OF的方程：( )+(1p－1a)y=0．

【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填1c－1b．事实上，由截距式可得直线AB：xb+ya=1，直线CP：xc+yp=1，两式相减得(1c－1b)x+(1p－1a)y=0，显然直线AB与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．

【答案】1c－1b.

2.2 指向2：有关圆锥曲线的问题

考题2（10 江苏 6）在平面直角坐标系xOy中，双曲线x24－y212=1上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是__________.

【答案】4

考题3（08 江苏 12）在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆M，若过P(a2c，0)作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为__________.

【解析】设切线PA、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA，所以OAP 是等腰直角三角形，故a2c=2a，解得e=ca=22．

【答案】22

考题4（09 江苏 13）如图，在平面直角坐标系xOy中，A1,A2,B1,B2为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为__________

【答案】27-5

【解析】用a,b,c表示交点T，得出M坐标，代入椭圆方程即可转化解得离心率.

2.3 指向3：有关直线与圆的问题

考题5（10 江苏 9）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x－5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是__________.

【答案】(－13,13)

【解析】考查圆与直线的位置关系．圆半径为2，圆心(0,0)到直线12x－5y+c=0的距离小于1，|c|13

考题6（08 江苏 18）在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f(x)=x2+2x+b（x∈R）的图象与两坐标轴有三个交点．经过这三个交点的圆记为C．

（1）求实数b的取值范围；

（2）求圆C的方程；

（3）问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论．

解析：（1）令x=0,由b≠0且Δ>0,得b

(2)涉及圆与坐标轴的交点问题，设圆的一般方程转化为二次方程解的问题，可得圆C的方程为x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.也可以首先求出三个交点的坐标，利用待定系数法，将点的坐标代入圆的方程.

（3）将圆C过定点转化为方程恒成立问题，求得圆C过定点(0,1),(-2,1).

考题7（09 江苏 18）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1:(x+3)2+(y－1)2=4和圆C2:(x－4)2+(y－5)2=4

（1）若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程；

（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.

【解析】(1) y=0或y=－724(x－4)，

(2)利用垂径定理可知弦心距相等，再转化为关于k的方程恒成立问题.或由题意知P在线段C1C2的中垂线上，且与C1、C2成等腰直角三角形，利用几何关系计算可得点P坐标为(－32,132)或(52,－12)．

2.4 指向4：有关直线与椭圆的问题

考题8（10 江苏 18）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆x29+y25=1的左、右顶点为A、B，右焦点为F．设过点T(t,m)的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)、N(x2,y2)，其中m>0，y1>0,y2

（1）设动点P满足PF2－PB2=4,求点P的轨迹；

（2）设x1=2,x2=13，求点T的坐标；

（3）设t=9,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）．

［解析］ （1）点P的轨迹为直线x=92．

（2）点T的坐标为(7,103)．

（3）将直线AT、BT分别与椭圆联立方程组.考虑到A、B两点为定点，

解得：M(3(80－m2)80+m2,40m80+m2)、N(3(m2－20)20+m2,－20m20+m2)．

（方法一）当x1≠x2时，直线MN方程为：y+20m20+m240m80+m2+20m20+m2=x－3(m2－20)20+m23(80－m2)80+m2－3(m2－20)20+m2

令y=0，解得：x=1．此时必过点D（1，0）；

当x1=x2时，直线MN方程为：x=1，与x轴交点为D（1，0）．

所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）．

（方法二）若x1=x2，则由240－3m280+m2=3m2－6020+m2及m>0，得m=210，

此时直线MN的方程为x=1，过点D（1，0）．

若x1≠x2，则m≠210，直线MD的斜率kMD=40m80+m2240－3m280+m2－1=10m40－m2，

直线ND的斜率kND=－20m20+m23m2－6020+m2－1=10m40－m2，得kMD=kND，所以直线MN过D点．

因此，直线MN必过x轴上的点（1，0）．

3 2012年江苏高考数学预测

3.1 从近几年的命题及考纲要求看，有这样一个现象值得关注：那就是直线与圆和直线与椭圆的轮番交替出现．08年在填空题第12题考查了求椭圆的离心率，随即在第18题考查了直线与圆的综合题；09年在填空题第13题考查了求椭圆的离心率，随即在第18题考查了直线与圆的综合题；10年在填空题第9题考查了直线与圆，随即在第18题考查了运算量较强的直线与椭圆的综合题．也就是说直线与圆和直线与椭圆这几年考查规律基本上是以一大一小的形式进行，而且均有一定的综合性．

3.2 新考纲对双曲线及抛物线的要求较低（均为A级要求），从这几年的高考命题来看，仅有一题考察了双曲线的基本知识，这就提示我们在复习这两种圆锥曲线时，一定要大胆摒弃一些难度偏大的填空题，运算量偏大的解答题，那些在旧考纲要求下的繁琐问题要坚决舍弃，不能因此让我们复习偏离了方向．

（作者：薛钧，江苏省如皋中学)