数学学习中要重视解题后的反思

摘要:在数学教学中,教师可以通过帮助学生反思解题思路及构建学生自己的“错题集”来培养学生解题后进行反思的习惯。

关键词:数学学习 学生 解题 反思

反思是教学中教师和学生都会常常自觉或不自觉开展的一种活动。对学生来说,反思也是一种有效的学习方法。据笔者在教学过程中的了解,大多数学生平时在数学学习过程中基本上是就题做题,很少有学生在做题时先根据题干对所涉及的知识进行整理、回顾后再分析做题。做完题后再进行反思的学生更是寥寥无几。所以,学生经常出现课堂上能听懂,练习会做,作业也能独立完成,但隔段时间后再遇到同类型的题目时,却不知所措、无从下手的状况。究其原因,还是学生对所学知识没有完全理解和掌握。为了更好地掌握数学知识,减少这种现象发生,就需要培养学生形成良好的反思习惯,不断地对所学知识进行反思,进行梳理,以此加深理解。

在平时的数学学习中,无论是会做的题目,还是解题过程中存在困难的题目,或者是根本不会的题目,在想办法进行求解后,都要回过来进行反思。反思一下审题过程和解题过程。弄清楚题干所提供的已知条件有哪些,需要解决的问题是什么,然后根据从题干中挖掘出的条件找联系,无论对解题是否有帮助,将能联想到的知识点都罗列出来。一方面,可以将原来学习过的内容重新进行梳理,形成清晰的框架,起到复习作用。另一方面,从所罗列的知识点中有可能找到解决问题的思路或突破点。在反思的过程中,可以变换一下思路,若起初是按照从已知到未知的方向思考问题、寻求解法的,那么在反思过程中,可以尝试着从待解决的问题或需证明的结论着手,逐步寻求使之成立的条件,直到追溯到已知条件为止。这样,在整个反思活动中,就可以通过不断地发现问题、分析问题,最终寻找到解题的关键及其突破点。

例如,有这样一个解析几何题:过点M(0,1)作直线,使它被两条已知直线l1:x-3y+10=0,l2:2x+y-8=0所截得的线段恰好被M平分,求此直线方程。

对于这道题目,按照前文提到的顺向和逆向的思考方式,可以形成两种思路。第一种思路,直接从题干所提供的条件出发可知,题干中给出了一个点、两条直线,要求的也是一条直线的方程。这四个元素之间的关系是:所求直线一定与两条已知直线相交于不同的两点,而点M恰好是这两交点确定的线段的中点;另外,所求直线一定经过点M。然后,根据找到的关系,思考解决问题的方法。而所学的直线方程的形式主要有:点斜式、斜截式、截距式、两点式和一般式,在这里直线方程的前四种形式都可以通过变形整理转化成一般形式。 结合提炼出的信息可以首先确定要设的直线的方程形式为点斜式或斜截式,又由于点M是纵轴上的点,故选择斜截式更方便。所求直线的方程设出后,就再次结合提炼出的信息顺理成章地就能求得直线的方程。第二种思路,就是从所要解决的问题出发,寻求使结论成立的充分条件,一直追溯到已知条件或者事实上已经被大家认可的结论为止,在按思考的过程逆向写出来即可解决该问题。也就是说要求满足条件的直线的方程,根据直线方程的几种形式的特征,要么需要知道直线上的一点和该直线的斜率,或者直线在两坐标轴上的截距或者直线的斜率和在纵轴上的截距,或者直线上两点的坐标。而这里已知直线上一点的坐标,所以,可以选取点斜式或斜截式方程。这就需要去求直线的斜率,只要求出斜率,问题即可解决。要求斜率,就要利用已知条件中的信息即可解决。具体做法如下:

方法一:过点M且与 轴垂直的直线显然不合题意。换种说法,就是指所求直线的倾斜角不可能是90°,所以所求直线的斜率一定存在。不妨设所求直线的方程为y=kx+1,与已知直线l1,l2分别相交于A,B两点,联立方程组:

y=kx+1x-3y+10=0①

y=kx+12x+y-8=0②

由①解得:xA=■由②解得:xB=■

点M平分线段AB,

xA+xB=2xM,即■+■=0。

解得k=-■,故所求直线方程为:x+4y-4=0。

在学生对以上相关知识进行充分理解的基础上,利用所给条件和自身原有的知识基础之间的相互联系,还可以得到的更简练的解法。如方法二、三。

方法二:设所求直线的方程为y=kx+1,

代入方程:(x-3y+10)(2x+y-8)=0,

得(2-5k-3k2)x2+(28k+7)x-49=0,

同方法一,所求直线与l1,l2分别相交于A,B两点,

由题意知xA+xB=-■=2xM=0。

可得k=-■, 所求直线方程为:x+4y-4=0。

方法三:设所求直线与l1,l2分别相交于A,B两点,

点B在直线l2:2x+y-8=0上,故可设B(t,8-2t),

M(0,1)是AB的中点,由中点坐标计算公式的A(-t,2t-6),

点A在直线l1:x-3y+10=0上,

(-t)-3(2t-6)+10=0,解得:t=4,

B(4,0),故所求直线方程为:x+4y-4=0。

这种方法就是将已知条件与相关知识联系起来并进行变通后的又一种解题方法,即借助于参数来求解。涉及的知识点有:点在直线上时,点的坐标就要满足直线的方程;线段的中点坐标计算公式,直线的点斜式方程形式。只要对这些内容有较透彻的理解和掌握,就能很灵活地加以运用。

通过这个例题的求解,可以看到,学生如果能够对题目中的条件进行认真的思考,对涉及的知识点进行及时的回顾,那么就能很快地找到已知条件与未知之间的联系纽带,寻求到解决问题的思路和解法,并能进一步加深对这部分内容的理解,比如,会注意到:使用直线方程是要注意限制条件。如点斜式的使用条件是直线必须存在斜率;截距式使用条件为两截距都存在且不为零,比如直线在两坐标轴上的截距相等、互为相反数等都要考虑直线过原点的情况。两点式使用条件为直线不与横轴垂直,也不与纵轴垂直。同时,在解直线方程的题中,经常要用到数形结合、分类讨论和函数思想等数学思想。因此,完成一个题目的求解之后并不是意味着思考工作就随之结束了,而是要继续引导学生对这种类型题进行反思,在此基础上对所涉及的知识进行再次梳理,使学生能够形成更加清晰、更有条理化的知识链,加深理解,达到融会贯通的目的,有助于学生的后继学习。

在数学学习过程中,还可以引导学生通过写“错题集”的方式来进行反思。“错题集”中可以记载学生自己在作业中、练习中或者考试中出错的题目,并在相应的题目下方注明错误的原因。比如,是因为粗心大意对题目条件没有分析清楚;还是因为无法读懂题目要求,或是能看懂,但就是找不到已知条件和未知量之间的联系;或者是对相应的知识点根本就没有掌握等。总之,无论是哪种情况,都将出错的原因写在错题的下方,然后将更正后的解题思路、解题方法以及解题过程都补充完整并记录下来。有必要的话,还可以对所涉及的知识点进行归纳和整理。也许,同种类型的题目会做错好多次,但是,每次都将它记载下来,进行认真仔细的分析和纠错,时间一长,再次遇到同种类型题时,就不会出现同样的错误了。日积月累,“错题集”会变得越来越厚,但是对数学知识的理解和掌握就会更加深刻和牢固,并能形成一个属于学生自己的数学知识框架图。通过亲身反复的概括、归纳总结,独立思考,构建起来的知识链,更有益于学生对数学知识的理解、掌握和应用。

总而言之,在数学教学过程中,要不断地引导学生进行反思活动,通过反思,不仅可以使学生增强对已有知识的理解和掌握,而且还能培养学生多动脑、勤思考的习惯,并能逐步由学会数学向会学数学发展。

参考文献:

[1] 伍新春.高等教育心理学 [M]. 高等教育出版社,1999.

[2] 郑小玲.王后雄高考标准诠释·数学 [M]. 湖南大学出版社,2006.

[3] 郑君文,张恩华.数学学习论 [M].广西教育出版社,1996.

(责编 张宇)