概率喜欢与谁“联姻”

例1 某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取100名工人，先统计他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别加以统计，得到如图1所示的频率分布直方图.

（Ⅰ）从样本中日平均生产件数不足60的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率.

（Ⅱ）规定日平均生产件数不少于80者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.

例2 某算法的程序框图如图2所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生.

（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi（i=1，2，3）.

（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录输出y的值为i（i=1，2，3）的频数.以下是甲、乙所做频数统计表的部分数据.

当n=2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大.

（Ⅲ）将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数？孜的分布列及数学期望.

小结 本题将概率与程序框图巧妙地结合在一起，形式新颖，打破概率题以往惯有的模式，体现了学科知识间的交叉性、综合性与实用性，很好地考查学生理解问题、分析问题与解决问题的能力，具有较强的甄别功能.

例3 小波以游戏的方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8（如图3）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队.

（Ⅰ）求小波参加学校合唱团的概率.

（Ⅱ）求X的分布列和数学期望.

小结 本题将向量镶嵌在概率试题中，创新味十足，属于能力立意的好题.本题主要考查平面向量的数量积、相互独立事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等相关知识，其中合理利用平面向量数量积的两种表示来分析求解是顺利解题的关键，也是难点.

例4 假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N（800，502）的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.

小结 本题将概率与线性规划融为一体，让试题焕然一新，韵味十足.本题主要考查正态分布、简单线性规划等基础知识，同时考查学生的运算求解能力和逻辑推理能力，还考查数形结合思想、化归与转化思想，对学生综合分析、解决问题的能力提出一定的要求，体现试题的选拔功能.